Соответствия

Соответствием между множествами A и B называется подмножество G прямого произведения этих множеств. G Í A ´ B. Если (a, b) Î G, то говорят, что «b соответствует a при соответствии G». Можно считать, что соответствие между множествами A и B и бинарное отношение из А в В – это эквивалентные понятия.

Область определения соответствия G – множество ОО_G = {a ½ (a, b) Î G}. Область значений соответствия G – множество ОЗ_G = {b ½ (a, b) Î G}.

Соответствие называется всюду (полностью) определенным, если его ОО = A. В противном случае соответствие называется частично определенным.

Соответствие называется сюръективным, если ОЗ = B.

Образом элемента а в множество B при соответствии G называется множество всех b Î B, соответствующих элементу a Î A. Прообразом элемента b в множество А при соответствии G называется множество всех a Î A, которым соответствует b Î B.

Инъективное соответствие – соответствие, в котором прообразом любого элемента b из области значений ОЗ является единственный элемент a из области определения ОО.

Функциональное (однозначное) соответствие – соответствие, в котором образом любого элемента а из области определения ОО является единственный элемент b из области значений ОЗ.

Соответствие называется биективным (взаимно однозначным), если оно:

а) всюду определено;

б) сюръективно;

в) функционально;

г) инъективно.

Соответствие

не полностью определенное,

сюръективное (ОЗ = В),

не функциональное,

инъективное

Не полностью определенное,

инъекция,

не сюръекция,

функция

Всюду определенное,

сюръекция,

не инъекция,

функция

Всюду определенное,

сюръективное,

инъективное,

функциональное,

биективное

Пример. А = {Иванов, Петров, Сидоров};

В = {2, 3, 4, 5};

R Í A ´ B = {(Иванов, 4), (Петров, 4), (Сидоров, 2)}.

Найти область определения и область значений соответствия R, образ элемента «Иванов», прообраз элемента 2, определить свойства соответствия R (сюръективность, функциональность, инъективность, биективность, является ли R всюду определенным).

ОО_R = {Иванов, Петров, Сидоров}. Так как область определения соответствия совпадает со множеством А, то соответствие является всюду определенным.

ОЗ_R = {4, 2}. Область значения соответствия не совпадает со множеством В, поэтому соответствие не является сюръективным.

Образ элемента «Иванов» = {4}, прообраз элемента 2 = {Сидоров}.

Соответствие R является функциональным, потому что у каждого элемента из области определения не более одного образа из области значений. Соответствие не является инъективным, так как элемент 4 имеет более одного прообраза (Иванов и Петров). В силу вышесказанного соответствие R не является биекцией.

Контрольные вопросы

1. Пусть x Î X, y Î Y и R – отношение между элементами множества, выражаемое соотношением xRy. Укажите, в каких случаях R можно рассматривать как функцию?

а) X – множество студентов, Y – множество учебных дисциплин, xRy означает «x изучает y».

б) X – множество спортсменов, Y – рост в единицах длины, xRy означает «x имеет рост y».

2. Пусть А = {-2, -1, 0, 1, 2},а В = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Определим соответствие
¦ Í А ´ В как ¦ = {(-2, 5), (-1, 2), (0, 1), (2, 5)}. Каковы свойства соответствия f ?

3. Пусть ¦ Í R ´ R,где R – множество действительных чисел. Найдите область значений и область определения следующих функций:

а) ¦(х) = х ² +4; б) ¦ (х) = ;

4. Соответствие G определено графически. Найти образы и прообразы:
чисел 1, 2, 4; отрезков [1, 2], [2, 4].