Задачі та вправи

І. Навести приклад множини Y, еквівалентної множині X={1,2,3,4,5}. Скільки взаємно однозначних відображень існує між Х та Y?

ІІ. Чи рівнопотужні множини: 1) N⁺ та N^-, 2) N^- та N⁺, 3) N та Z, 4) N⁺ та Q, 5) N та R?

III. Нехай А – незліченна множина й В – деяка зліченна підмножина множини А. Довести, що множина В\А незліченна.

ІV. Чи є зліченною: 1) множина усіх непарних цілих чисел; 2) множина усіх ірраціональних чисел?

V. Методом математичної індукції довести, що:

1) n⁷-n ділиться на 7 при будь-якому цілому невід’ємному n,

2) 5×2^3n-2 + 3^3n-1 ділиться на 19 при будь-якому цілому додатному n,

3) n×(4n²-1) ділиться на 3 при будь-якому цілому n³0,

4) n²(n+1)² ділиться на 4 при будь-якому цілому невід’ємному n,

5) n×(2n²-3n+1) ділиться на 6 при будь-якому цілому невід’ємному n,

6) 4ⁿ + 15n-1 ділиться на 9 при будь-якому цілому невід’ємному n.

VІ. Методом математичної індукції довести рівності:

1) , 2) 1²+2²+…+n²=n(n+1)(2n+1)/6, n>0,

3) , 4) ,

5) , 6) ,

7) ,

8) (1+…+n)²=1³+…+n³,

9) (a+b)ⁿ=C_n⁰aⁿb⁰+…+C_n^ja^n-j b^j+…+C_nⁿa⁰bⁿ , n³1, 1£j£n.

VІІ. Методом математичної індукції довести, що

1) множина з n елементів має 2ⁿ підмножин,

2) непорожню множину з n елементів можна розбити на дві непорожні множини 2^n-1-1 способами.