Включення та рівність множин

Нехай А та В – множини. Будемо говорити, що А включається у В, або А є підмножиною В (й позначати АÍВ), якщо кожен елемент множини А є елементом множини В, тобто для кожного х, якщо хÎА, то хÎВ. Використовується також й позначення ВÊА, що означає «В включає А» (або «В є надмножиною А»). Наприклад, ZÍQ, оскільки кожне ціле число є раціональним; RÊZ, тому що кожне ціле число є дійсним числом; множина А={2,4,1} є підмножиною множини В={-1, 0,1,2,3,4}, оскільки для елементів 2, 4, 1 множини А виконується: 2ÎВ, 4ÎВ, 1ÎВ. Якщо для множин А та В твердження АÍВ не є істинним, будемо писати АËВ. Наприклад, QËZ, оскільки не кожне раціональне число є цілим; якщо X={а,b,c}, Y={b,c,d}, то ХËY, тому що множина Х містить такий елемент (а саме, елемент а), якого немає у множині Y, тобто не кожен елемент множини Х є елементом множини Y (так само, як не кожен елемент множини Y належить множині Х, отже, YËХ). Якщо увести позначення: ("х) – «для кожного х» (або «для довільного х»), Þ – «випливає» (або «слідує»), Û – «тоді й тiльки тоді, коли», то визначення включення множин можна записати таким чином: АÍВ Û ("х) хÎА Þ хÎВ.

Очевидно, що для будь-якої множини Х виконується ХÍХ. Доведемо, що для будь-яких множин X,Y,Z XÍY, YÍZ Þ XÍZ. Для цього достатньо показати, що ("х) хÎХ Þ хÎZ. При доведенні будемо використовувати те, що XÍY та YÍZ. Отже, нехай хÎХ. Оскільки XÍY, то хÎY, але YÍZ, а тому хÎZ. Таким чином, ми показали, що для довільного х хÎХ Þ хÎZ. Коротко побудоване міркування можна записати так: хÎХ Þ хÎY Þ хÎZ.

Назвемо множини X та Y рівними (й позначимо Х=Y), якщо XÍY та YÍХ, тобто Х=Y Û ХÍY та YÍХ. Наприклад, множини А={3,7,2} та В={7,2,3} рівні, тому що АÍВ та ВÍА, оскільки для елементів множини А маємо: 3ÎВ, 7ÎВ, 2ÎВ, а для елементів множини В маємо: 7ÎА, 2ÎА, 3ÎА. Якщо умова рівності множин Х та Y не виконується (тобто ХËY або YËХ), то будемо говорити, що множини Х та Y не рівні й писати Х≠Y. Наприклад, якщо Х={a,b,c}, Y={d,f,a}, то Х≠Y, оскільки ХËY (а також YËХ); множини {1,2,3} та N не рівні, оскільки NË{1,2,3} (хоча {1,2,3}ÍN).

Множина Х називається власною підмножиною множини Y, або Х строго включається в Y (позначається ХÌY), якщо ХÍY, але Х≠Y, тобто ХÌY Û ХÍY та Х≠Y. Наприклад, якщо А={a,b,c}, В={a,b,c,d}, то АÌВ, оскільки для елементів множини А маємо: аÎB, bÎB, cÎB, отже, АÍВ, але ВËА, тому В≠А. Також ZÌQ, оскільки не кожне раціональне число є цілим (й тому QËZ), тобто Z≠Q, хоча ZÍQ.

Через Æ позначимо множину, що не містить жодного елементу, тобто ("х) хÏÆ. Така множина називається порожньою множиною. З визначення порожньої множини випливає, що ÆÍА для будь-якої множини А. Дійсно, оскільки Æ не має елементів, то умова хÎÆ Þ хÎА не порушується для жодного х. Зауважимо, що множина {Æ} не є порожньою, оскільки містить один елемент (порожню множину), отже, Æ≠{Æ}, але ÆÎ{Æ}. Для множини A={a,b,c} маємо ÆÏА, тому що серед елементів множини А немає елемента Æ.