Решение дифференциальных уравнений

При решении дифференциального уравнения искомой величиной является функция. Для обыкновенных дифференциальных уравнений неизвестная функция – это функция одной переменной. Для дифференциальных уравнений в частных производных – это дифференциальные уравнения, в которых неизвестной является функция двух или большего числа переменных. Пакет MathCAD имеет ряд встроенных функций, предназначенных для решения дифференциальных уравнений. В результате решения получается матрица, содержащая значения функции, вычисленные на некотором множестве точек (некоторой сетке значений).

При использовании метода Рунге-Кутта, применяется функция rkfixed(y, x1, x2, n, f), которая выдает результат решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта четвертого порядка с фиксированным шагом интегрирования в виде таблицы. Ее можно использовать для решения как одного дифференциального уравнения, так и системы дифференциальных уравнений. Эта функция имеет пять аргументов:

· y – вектор начальных значений искомых функций;

· x1 – начальное значение независимой переменной;

· х2 – конечное значение независимой переменной;

· n – фиксированное число шагов интегрирования;

· F – правые части системы уравнений, записанные в виде вектора в символьном виде.

Пример 53. Решить методом Рунге-Кутта дифференциальное уравнение первого порядка y' = х + cos( y/1.25) при заданных начальных значениях: y₀(0.4)=0.8 и х [0.4, 1.4].

1. Запишите начальное значение Y₀ := 0.8 (рис. 79).

2. Запишите заданную функцию F(X,Y) :=X+ cos(Y/1.25).

3. Запишите встроенную функцию, выполняющую дифференцирование У:=rkfixed(Y₀,0.4,1.4,20,F),

где y₀ – вектор начальных значений искомой функции;

0.4 – начальное значение независимой переменной;

1.4 – конечное значение независимой переменной;

20 – количество шагов интегрирования;

F – правые части системы уравнений, записанные в виде вектора в символьном виде.

Функция rkfixed(y,x1,x2,n,F) выдает таблицу результатов решений с (m+1) столбцами и n строками, где m – число уравнений в системе. Нулевой столбец таблицы – это текущее значение независимой переменной (аргумента) х. Переменные определяются через x1, x2,… ,xn. Последующие столбцы решения определяют значения искомых функций y₁(x), y₂(x),… для соответствующих значений аргумента х (рис. 80-81).

Рис. 80. Решение дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта (начало)

Рис. 81. Решение дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта (конец)

Пример 54. Решить дифференциальное уравнение f''(x)-f(x)=х при заданных начальных значениях: f(0)=3, f(6)=140, используя функцию odesolve.

Алгоритм и результат решения представлен на рис. 82.

Рис. 82. Решение дифференциального уравнения