Поиск путей (маршрутов) с минимальным числом дуг (ребер)

Определение: Путь (маршрут) в орграфе Д (графе G) из вершины v_i в вершину v_j (i j) называется минимальным, если он имеет минимальную длину среди всех путей (маршрутов) орграфа Д (графа G).

Алгоритм поиска минимального пути из v в w орграфе Д (графе G).

Введем обозначения: Пусть Д = (V, X) – орграф, v V, V₁ V

Обозначим

Д(v) = {w V | (v,w) X} – образ вершины v

Д^-1(v) = {w V | (w, v) X} – прообраз вершины v

Д(V₁) = Д(v), где v V₁ – образ множества вершин V₁.

Д^-1(V₁) = Д^-1(v), где v V₁ – прообраз множества вершин V₁.

Пусть G = (V, X) – граф, v V, V₁ V

Обозначим

G(v) = {w V | (v,w) X} – образ вершины v

G(V₁) = G(v), где v V₁ – образ множества вершин V₁

Пусть Д = (V, X) – орграф с n вершинами (n 2).

v, w – заданные вершины из V, v w.

Опишем алгоритм поиска минимального пути из v в w в орграфе Д (алгоритм фронта волны).

1. Помечаем вершину v индексом 0, т. е. F W₀ (v) = { v }. Затем помечаем образы вершины v, индексом 1. Множество вершин с индексом 1 обозначим FW₁(v). Полагаем k = 1.

2. Если FW_k(v) = Ø или k = n – 1, w FW_k(v), то вершина w не достижима из вершины v, и работа алгоритма на этом заканчивается. В противном случае переходим к шагу 3.

3. Если w FW_k(v), то переходим к шагу 4. В противном случае существует путь из v в w длины k и этот путь минимальный.

Последовательность вершин:

v w₁ w₂ … w_k-1w, где

w_k-1 F W_k-1 (v) ∩ Д^-1 (w) (1)

w_k-2 F W_k-2 (v) ∩ Д^-1 (w_k-1)

…

w₁ F W₁ (v) ∩ Д^-1 (w₂)

и есть искомый путь длины k из v в w. На этом работа алгоритма заканчивается.

4. Помечаем индексом k+1 все непомеченные вершины, которые принадлежат образу множества вершин с индексом k. Множество вершин с индексом k+1 обозначаем F W_k+1 (v). Присваиваем k := k+1 и переходим к шагу 2.

Множество F W(v) в алгоритме обычно называют фронтом волны
k-гоуровня.

Вершины w₁, …, w_k-1 из последовательности (1), вообще говоря, могут быть выделены неоднозначно. Эта неоднозначность соответствует случаям, когда существует несколько различных минимальных путей из v в w.