Упражнения

1.1. Принадлежат ли числа 1, 3 следующим множествам: А₁={1}, А₂={{1}}, А₃={1, 2}, А₄={2, -1}, А₅={1, {2}}, А₆={х | х=3k, kÎZ}, А₇={x / х²-1=0, хÎQ}.

1.2. Определить, является ли одно из следующих множеств А₁, А₂ собственным подмножеством другого:

а) А₁={1, 2} А₂={1, {2}}

б) А₁={ромбы} А₂= {параллелограммы}

в) А₁={{1}} А₂={{1, 1}, 2}

г) А₁= {1, {2, 1}} А₂= {{2, 1, 1}, 1, 1}

д) А₁={Иванов и родственники Иванова}; А₂={Иванов, отец Иванова}.

е) А₁={правильные многоугольники}; А₂={квадраты}.

1.3. Указать множество всех подмножеств множества А:

а) А={1, 2} б) А= {o, , *}

1.4. Вывести формулу для количества подмножеств n-элементного множества.Сколько различных подмножеств имеет множество, состоящее из десяти элементов?

1.5. Найти АÈВ, АÇВ, А\В, А+В, В\А, если:

а) А=[0;8] В=[-5;1]

б) А=(-¥;5] В=[0;+¥)

в) А={х | х=2k, kÎN} В={х | хÎN}

г) А={ х | х²+5х+6=0, хÎR} В={х | х³+5х²+6х=0, хÎR}

1.6. Найти множество А\( ÇС), если А=(-1;+¥), В=(-¥;1), С=[3;+¥).

1.7. Изобразить на кругах Эйлера-Венна следующие множества:

, (А\В)\С, (А\С)\В, (А+В)ÇС.

1.8. Записать множества, изображенные на кругах Эйлера-Венна:

а) б)

1.9. Из 220 школьников 163 играют в баскетбол, 173 – в футбол, 24 не играют в эти игры. Сколько человек играют одновременно и в баскетбол и в футбол?

1.10. Каждый студент группы обладает хотя бы одним из признаков: юноша, волосы крашеные, получает стипендию. Юношей в группе 12, из них 3 покрасили волосы, а 8 получают стипендию. Всего в группе 6 студентов с крашеными волосами, из них 2 получают стипендию и 1 из двоих – юноша. Стипендию получают 14 человек, из них 8 – юношей. Сколько студентов в группе?

1.11. В диско-клубе собрались представители двух молодежных организаций: комсомола и «Яблоко». Комсомольцев было 24, юношей – 16. Причем юношей-комсомольцев было столько же, сколько девушек – «яблочниц». Сколько человек было на встрече?

1.12. Множество М состоит из m лиц, владеющих хотя бы одним иностранным языком – английским, французским или немецким. Известно, что английским языком владеют 70 лиц, французским – 65, немецким – 50, английским и французским – 40, английским и немецким – 30, французским и немецким – 20, а всеми тремя языками – 5 лиц. Найти m.

1.13. Упростить запись множества, используя основные равенства алгебры множеств:

а)

б)

в)

г)

д)

1.14. Доказать тождества и показать их верность на кругах Эйлера-Венна:

а)

б)

в)

г)

д)

§ 2. Декартово произведение двух или нескольких множеств.
Понятие отношения. Бинарные отношения

Декартово произведение множеств A и B обозначается :

Элементы этого множества называются упорядоченной парой.

Декартово произведение множеств обозначается :

Если , то множество называется n-й декартовой степенью множества A и обозначается .

Пусть даны два множества A и B.

Определение: Бинарным(или двуместным)отношением называется множество упорядоченных пар, т.е. любое подмножество декартова произведения .

Если пара , то иногда записывают так: (элемент находится в отношении с элементом )

Если A=B, то говорят, что есть отношение, заданное на множестве A.

Определение: Областьюопределения бинарного отношения называется множество :

Определение: Областьюзначений бинарного отношения называется множество :

Определение: Обратнымотношением (инверсией) бинарного отношения называется отношение :

Определение: Тождественнымотношением на множестве A называется отношение :

Определение: Произведением(композицией) бинарных отношений и называется отношение, которое обозначается: , и определяется следующим образом: