Основные понятия и определения теории множеств

Определение. Под множеством (совокупностью) понимают набор объектов произвольной природы, которые называются элементами множества.

Подразумевается, что элементы множества различны и различимы между собой. Само множество элементов рассматривается как единое целое, и в качестве такого может быть элементом любого другого множества. Элементы могут быть любыми объектами – числами, людьми, буквами и т.д. В математике в качестве элементов множества рассматриваются математические объекты – числа и множества чисел, точки и множества точек и т.д.

Множества принято обозначать большими буквами латинского алфавита: Для числовых множеств приняты обозначения;

множество натуральных чисел;

множество натуральных чисел с нулем;

множество целых чисел;

множество рациональных чисел;

множество вещественных чисел;

множество комплексных чисел.

Постулируется, что любое множество состоит из своих элементов и однозначно определяется ими. Таким образом, предполагается, что для каждых конкретных объекта и множества можно определить, является ли данный объект элементом данного множества или нет. Элементы множества будем обозначать малыми латинскими буквами:

Определение. Говорят, что всякий элемент множества принадлежит и пишут: Если же элемент не является элементом множества то говорят, что не принадлежит и пишут:

Если множество состоит из элементов будем писать: или При этом порядок перечисления элементов значения не имеет.

Определение. Множества, содержащие в качестве элементов другие множества, называются семействами или классами.

Определение. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается

Определение. Если все элементы данной системы множеств принадлежат какому-то одному большому множеству, такое множество называется универсальным множеством, или универсумом, и обозначается Из контекста, как правило, ясно, какие элементы образуют универсум. В иных случаях универсум – это некоторое абстрактное множество, из элементов которого состоят все остальные множества, и других «кирпичиков» для образования множеств нет.