Аналитические вычисления

I₂

I₃

I₁

I₄

I_o

Задача 1. На приведённой схеме сопротивление RR является переменным. Определить, как меняется ток между точками А и В в зависимости от величины этого сопротивления.

Анализ.Перенумеровав сопротивления в указанном порядке и воспользовавшись законами Кирхгофа, получим систему уравнений, позволяющую найти величины токов

Эту систему надо решить, не подставляя конкретных значений вместо параметров R, RR и Е.

1. Запустите программу MathCad.

2. Введите ключевое слово given.

3. Введите уравнения системы, полученной в ходе анализа. Обозначьте неизвестные токи переменными X0, X1, X2, X3, X4. Фиксированное сопротивление R обозначьте переменной R0. Обратите внимание, что присваивать начальные токов или задавать значения переменных R0, RR и Е не требуется.

4. Введите функцию find, перечислив в качестве параметров неизвестные X0, X1, X2, X3, X4. Затем введите оператор аналитического вычисления, который выглядит как стрелка, направленная вправо, и вводится комбинацией клавиш CTRL+. или кнопкой Evaluate Symbolically (Вычислить аналитически) на панели инструментов Evaluation (Вычисление).

5. Щёлкните за пределами данного блока, и программа MathCad произведет аналитическое решение системы уравнений:

Полученный результат позволяет провести полный анализ схемы.

Задача 2. Найти все корни уравнения

(1+у-у²)²+у=2.

Анализ. Это уравнение четвёртого порядка. Легко подобрать один корень (у=1). Остающееся уравнение третьего порядка не имеет рациональных корней, так что поиск других корней этого уравнения – дело непростое. Неясно даже, сколько ещё действительных корней имеет данное уравнение. Результаты численного решения зависят от подбора начального приближения и поэтому не гарантируют отыскания всех корней уравнения. Мы же решим это уравнение аналитически.

1. Запустите программу MathCad.

2. Введите заданное уравнение. Чтобы раскрыть скобки, дайте команду SymbolicsëSimplify (Аналитические вычисленияëУпростить).

3. Выделите в полученном уравнении независимую переменную (в данном случае у) и дайте команду SymbolicsëVariableëSolve (Аналитические вычисленияëПеременнаяëРешить).

Программа Mathcad выдаст вектор, элементами которого являются корни данного уравнения.

4. Полученный результат содержит сложные комплексные радикалы, и его невозможно применить с пользой (нельзя даже точно сказать, являются ли корни действительными и комплексными). Чтобы разделить действительную и мнимую части, выделите результат вычисления целиком и дайте команду SymbolicsëEvaluateëComplex (Аналитические вычисленияëВычислитьëВ комплексном виде). В результате запись станет более простой, но результат всё-таки останется трудным для восприятия.

5. Следующий шаг – раскрытие скобок, в данном случае упрощение аргументов тригонометрических функций. Для этого примените команду SymbolicsëExpand (Аналитические вычисленияëРаскрыть). Только теперь станет ясно, что все корни уравнения действительные (все мнимые компоненты сократятся). Это наилучшая точная запись решения, которую можно получить с помощью программы Mathcad.

6. Чтобы получить результат в числовом виде, достаточно ввести в конце выражения (итоговый или на любой из предыдущих стадий) команду вычисления (=).