Целый ряд процессов, протекающих в природе и в технических системах, описывается простейшими дифференциальными уравнениями первого порядка с разделяющимися переменными. Среда MathCAD позволяет получить решение их в аналитической форме.
Для описания процесса необходимо составить дифференциальное уравнение, опираясь на известную физическую закономерность, разделить переменные и проинтегрировать обе части уравнения поочередно; полученное выражение разрешить относительно неизвестной функции, получив выражение для нее в общем виде; учесть начальное условие и другие данные задачи для нахождения неизвестных констант.
Рассмотрим пример. Температура тела, вынутого из печи, в течение 5 мин падает от Т1=1000С до Т2=600С, температура воздуха – Т0=250С. Найти закон изменения температуры тела и определить температуру тела на протяжении последующих 5 мин через каждые 30 сек. Указание: В основу модели положить закон теплообмена Ньютона – скорость охлаждения dT/dt пропорциональна разности температур тела и окружающей среды (T-T0). Решение представлено в следующим MathCAD документом.
Задание на лабораторную работу
Вариант задания выбирается по последней цифре зачетной книжки 1 или 6 – вариант 1; 2 или 7 – вариант 2; 3 или 8 – вариант 3; 4 или 9 – вариант 4; 5 или 10 – вариант 5. Предпоследняя цифра зачетки, обозначенная буквой l, используется для выбора исходных данных в заданиях.
Вариант 1.Скоростное судно водоизмещением 1 тыс. т, двигавшееся прямолинейно со скоростью 20 м/с, выключает двигатель. Сопротивление воды при скорости судна 2 м/c составляет (3600+100*l) Н. Определить закон изменения скорости судна со временем, значения скорости в интервале от 2 до 4 мин через каждые 10с.
Указание: воспользоваться вторым законом Ньютона для динамики поступательного движения и считать, что сила сопротивления воды Fc пропорциональна квадрату скорости движения судна – ; коэффициент пропорциональности b можно найти, зная силу сопротивления на скорости 2 м/c.
Вариант 2.Конденсаторемкостью С=(300 + 10*l) мкФ, заряженный до напряжения 200 В разряжается через резистор сопротивлением R = (10 – 0.5*l) кОм. Определить закон изменения напряжения на конденсаторе с течением времени и величину напряжения в интервале от 3 до 4 с через каждые 0.1 с.
Указание: воспользоваться вторым законом Кирхгофа, в соответствии с которым сумма падений напряжений в замкнутом контуре (напряжение на резисторе – и текущее напряжение на конденсаторе U) должна быть равна сумме ЭДС источников, включенных в контур (а поскольку таковых не имеется, то нулю).
Вариант 3.Вожатый автопогрузчика, трогая его с места, включает постепенно реостат, увеличивая мощность двигателя так, что сила тяги возрастает от нуля пропорционально времени на (120+10*l) Н/c. Масса автопогрузчика с контейнером равна 10 т, сила трения постоянна и равна 200 Н. Найти закон изменения скорости автопогрузчика со временем. и значения скорости в интервале времени 0 до 4 мин после включения двигателя с шагом 0.1мин.
Указание: использовать второй закон динамики поступательного движения ( где коэффициент К выражает нарастание силы тяги погрузчика –120+10*l) и в решении учесть, что если сила тяги меньше силы трения покоя, то движение автопогрузчика отсутствует (скорость равна нулю).
Вариант 4.В бак объемом 1 м3 постоянного сечения 1 м2, заполненный наполовину (т.е. до высоты h1= 0.5 м), поступает вода через верхнюю трубу напором Q1=(100+l) л/мин и, одновременно, вытекает через трубу, расположенную у его дна, так что поддерживается постоянный уровень жидкости в баке. В некоторый момент времени подача воды через верхнюю трубу прекращается, и бак начинает опорожняться через трубу стока. Определить закон изменения уровня воды в баке и значения уровня в интервале времени от 5 до 10 с после выключения верхней трубы с шагом 0.5 с.
Указание: считать, что скорость стока пропорциональна квадратному корню из уровня жидкости в баке (закон Торричелли), поэтому при равновесии притока Q1 и стока на уровне h1 можно отыскать коэффициент пропорциональности k.
Вариант 5.Первоначальное количество микробов в забортной воде балластного танка составляло 1000 клеток. Через время t1 = (2+0.1*l) часа оно удвоилось. Определить закон изменения числа бактерий со временем при переходе судна и найти их число в интервале времени от 3 до 4 часов с интервалом 5 мин.
Указание: считать, что скорость роста dN/dt пропорциональна ее величине – числу клеток N. Коэффициент пропорциональности k может быть найден после определения в аналитической форме закона изменения числа клеток N(t), зная время их удвоения t1 – N(t1)=2*N(0).
Вопросы для самоконтроля
1. Как составить дифференциальное уравнение, описывающее протекание во времени физического процесса в некоторой системе?
2. В чем заключается аналитический метод решения дифференциальных уравнений первого порядка в пакете MathCAD?
3. Какова последовательность операций при нахождении аналитического решения?
4. Как определить постоянную интегрирования и неизвестные коэффициенты для исследуемых моделей?
и считать, что сила сопротивления воды Fc пропорциональна квадрату скорости движения судна – 
; коэффициент пропорциональности b можно найти, зная силу сопротивления на скорости 2 м/c.
и текущее напряжение на конденсаторе U) должна быть равна сумме ЭДС источников, включенных в контур (а поскольку таковых не имеется, то нулю).
где коэффициент К выражает нарастание силы тяги погрузчика –120+10*l) и в решении учесть, что если сила тяги меньше силы трения покоя, то движение автопогрузчика отсутствует (скорость равна нулю).
на уровне h1 можно отыскать коэффициент пропорциональности k.