Методические указания

Возможность представления периодических (а при определенных условиях и непериодических) функций совокупностью их гармонических составляющих в виде ряда Фурье эффективно используется во множестве прикладных областей (например, при передаче информации по каналам связи, фильтрации сигналов и др.)

С помощью ряда Фурье периодический сигнал y(t) на отрезке [0,T] может быть представлен в виде:

,

где f₁ =1/T– частота первой гармоники периодического сигнала, а коэффициенты ряда a_k и b_k определяют вклад косинусной и синусной составляющих k-ой гармоники и вычисляются по формулам:

Часто используется иная формула ряда Фурье, упрощающая его синтез:

,

где амплитуда A_k и фаза j_k k-ой гармоники выражаются через коэффициенты ряда a_k и b_k.

Переход от функции y(t) к параметрам ее ряда Фурье (амплитудам и фазам гармоник) называется прямым преобразованием Фурье. Соответственно, обратный переход называется обратным преобразованием Фурье. Непосредственная компьютерная реализация этих переходов вызывает затруднения, поскольку необходимо вычислять с заданной точностью интегралы от быстро осциллирующих подынтегральных функций. Поэтому были разработаны методы быстрого (дискретного) преобразования Фурье (FFT – Fast Fourier Transform).

Функция fft(v) пакета MathCAD выполняет быстрое преобразование Фурье (БПФ) для вектора, содержащего 2^m компонент (где m – целое число) и формирует вектор, состоящий из (2^m+1) комплексных чисел, модуль и аргумент которых соответствуют амплитудам и фазам гармоник ряда Фурье.

Таким образом эта процедура переводит временную зависимость в частотную область – находит спектр сигнала. Функция ifft(v) быстрого обратного Фурье вновь переводит частотный спектр во временную зависимость. Построение быстрого преобразования Фурье рассмотрено в примере 1.

БПФ широко применяется при решении задач аппроксимации функций. Так, при ограниченном числе гармоник приближение функции тригонометрическим рядом Фурье обеспечивает наименьшую среднеквадратичную погрешность. Применение БПФ для спектрального анализа сигналов с учетом ограничения числа гармоник (отсечение части спектра) рассмотрено в примере 2.

Аналогичная методика цифровой фильтрации применяется в случае необходимости исключения из полезного сигнала высокочастотного шума вносимого случайными помехами. Идея фильтрации заключается в том, что компоненты вектора, соответствующие внесенному шуму, имеют небольшую амплитуду (модуль) и, потому, могут быть отброшены. Пример фильтрации зашумленного сигнала путем отсечки высокочастотных гармоник приведен в приведен в примере 3. Качество фильтрации здесь, как и в предыдущем случае определяется уровнем фильтрации a.