Интерполяция

При проведении анализа различных физических явлений, технологических процессов результаты эксперимента обычно представляются в виде табличной зависимости функции y(x):

При этом число заданных точек этой зависимости ограничено.Поэтому неизбежно возникает задача приближенного вычисления значений функции в промежутках между узловыми точками (интерполяция) и за их пределами (экстраполяция). Эта задача решается аппроксимацией или интерполяцией исходной зависимости, т.е. ее подменой какой-либо достаточно простой функцией. В MathCAD имеются встроенные функции, обеспечивающие кусочно-линейную и сплайновую интерполяцию исходной табличной зависимости.

При кусочно-линейной интерполяции соседние узловые точки соединяются отрезками прямых, и дополнительные точки определяются по уравнениям этих прямых. Для проведения такого вида интер- поляции используется функция linterp(VX, VY, x), где VX и VY – векторы, задающие узловые точки ис- ходной табличной зависимости, а x – аргумент результирующей интерполяционной функции.

Например, на рис. 22 исходная табличная зависимость y(x) задается векторами VX и VY (по 5 точек). Затем определяется, так называемая, интерполяционная функция f_i(x), которая позволяет для любого значения аргумента x определить искомую величину функции y. График этой функции представлен на рис. 22 (пунктир) вместе с узловыми точками (крестики). Из рис. 22 видно, что в узловых точках VXi зна- чения функции f_i(x) совпадают с табличными VY.

Рис. 22Проведениекусочно-линейной интерполяции в MathCAD

Как видно из рис. 22, результаты кусочно-линейной интерполяции при достаточно малом числе уз- ловых точек получаются довольно грубыми. Поэтому в целях повышения точности целесообразнее ис- пользовать сплайновую интерполяцию, при которой исходная функция заменяется отрезками кубиче- ских полиномов, проходящих через три смежные узловые точки. Коэффициенты полиномов рассчиты- ваются так, чтобы непрерывными были их первые и вторые производные.

Для выполнения сплайновой интерполяции в MathCAD имеются четыре встроенные функции. Три из них обеспечивают получение вектора вторых производных сплайн-функций при различных способах сплайновой интерполяции:

· cspline (VX, VY) – возвращает вектор VS вторых производных при приближении в опорных точках к кубическому полиному;

· pspline (VX, VY) – возвращает вектор VS вторых производных при приближении в опорных точках к параболической кривой;

· lspline (VX, VY) – возвращает вектор VS вторых производных при приближении в опорных точках к прямой.

Четвертая функция interp (VS, VX, VY, x) определяет для найденного ранее вектора вторых произ- водных VS и заданной при помощи векторов VX и VY исходной табличной зависимости y(x) интерполя- ционную сплайновую функцию.

Таким образом, сплайновая интерполяция в MathCAD производится в два этапа. На первом этапе определяется вектор вторых производных VS при помощи одной из трех функций (cspline, pspline или lspline), а на втором – определяется интерполяционная зависимость посредством функции interp. Пример дан на рис. 23.

Рис. 23Проведение сплайновой интерполяции в MathCAD

Как видно из сравнения графиков, представленных на рис. 22 и 23, сплайновая интерполяция дает более гладкий и точный график интерполяционной функции.