Методические указания

Численное решение дифференциального уравнения n-го порядка

с начальными условиями

на отрезке x Î[x₀, x_K]в MathCAD может быть найдено при помощи функции odesolve (x, x_K, steps). Здесь x – переменная дифференцирования; x_K– правая граница отрезка, на котором ищется решение; steps – необязательный параметр, определяющий число шагов разбиения интервала [x₀, x_K]для нахождения решения дифференциального уравнения.

Ввод дифференциального уравнения и начальных условий производится в блоке, начинающемся с директивы given ("дано").

Рассмотрим пример. Пусть требуется найти решение дифференциального уравнения y^’’ + 2 y^’+ 3 y = sin x с начальными условиями y^’ (0) = 1 и y(0) = 0 на отрезке x Î[0, 20]. Решение данного уравнения проиллюстрировано на рис. 20.

Замечанияк решению дифференциального уравнения (рис. 20).

1 Ввод знака равенства в дифференциальном уравнении и в начальных условиях производится при помощи кнопки палитры "Сравнения и отношения".

Рис. 20Пример решения дифференциального уравнения

2 Знак производной ("штрих") вводится кнопкой клавиатуры . При этом, если необходимо ввести четвертую производную, то необходимо ввести четыре "штриха", пятую – пять "штрихов" и т.д.

Численное решение системы из n дифференциальных уравнений первого порядка

с начальными условиями

на отрезке x Î[x₀, x_K]в MathCAD может быть найдено при помощи функции rkfixed (y, x₀, x_K, n, F), которая возвращает полученную методом Рунге-Кутта с фиксированным шагом таблицу решения системы.

При этом начальные условия необходимо задать в виде вектора y, а правые части системы уравнений в виде вектора F; n – число точек разбиения заданного интервала [x₀ , x_K].

Например, пусть дана система дифференциальных уравнений

с начальными условиями

а параметр m = -0,1 . Требуется найти решение данной системы дифференциальных уравнений на интервале x Î[0, 20].

Рис. 21Решение системы дифференциальных уравнений

Решение данной задачи в MathCAD представлено на рис. 21.

Приближенное решение системы, получаемое данным методом, представляется табличной функцией, заданной в 100 точках (n = 0, 1, …, 99). При этом первый столбец матрицы решения Y соответствует x, второй – переменной y₀, а третий – y₁(рис. 21).

Кроме функций решения дифференциальных уравнений odesolve и rkfixed, в MathCAD существует и ряд других, например, rkadapt и bulstoer.