Методические указания

Долгое время математические компьютерные программы (Eureka, Mercury, ранние версии MathCADи MatLab) развивались как системы для численных расчетов. Однако в начале 90-х годов XX века быстрое развитие получили системы символьной математики (MathCAD, Maple, MatLabи др.). Им стали доступны такие интеллектуальные виды аналитических (символьных) вычислений, как нахождение пределов функций и их производных, вычисление определенных и неопределенных инте- гралов, разложение функций в ряд, подстановки, комбинирование и т.д. Результаты символьных вычислений представляются в аналитическом виде, т.е. в виде формул.

Для выполнения символьных расчетов в MathCAD используется меню символьных вычислений "Symbolics" или палитра "Символьные вычисления" (рис. 17).

Основным в данной палитре является оператор "Символический знак равенства" (кнопка ). Если при помощи него вместе знака "=" в выражениях использовать символ "®", то MathCAD будет производить аналитические вычисления, вместо численных. К таким операциям относятся, например, нахождение сумм рядов, производных, определенных и неопределенных интегралов, пределов функций (рис. 18).

Замечание!Если система не может выполнить символьное вычисление, то в качестве результатав этом случае выдается исходное выражение

Рис. 17Меню символьных вычислений "Symbolics"и палитра "Символьные вычисления"

Рис. 18 Примеры символьных вычислений

Рассмотрим на примерах ряд операторов палитры "Символьные вычисления" (рис. 17):

·simplify – упростить выражение, например

· expand – разложить по степеням какой-либо переменной, раскрыть выражение, например

· factor – разложить выражение на множители (операция, обратная expand), например

· coeffs – нахождение полиномиальных коэффициентов. Эта операция аналогична команде expand с той лишь разницей, что она возвращает коэффициенты результирующего полинома в виде вектора.

· substitute – замена переменной в выражении (подстановка).

·series – разложить функцию в ряд Тейлора по указанной переменной, например

В данном примере второй параметр, равный 4, определяет количество членов ряда, оставляемых при разложении.

·parfrac – разложить выражение на простые дроби, например

· solve – решить уравнение или неравенство относительно указанной переменной. Пусть, например, необходимо решить уравнение 2 x 2+x -10 =0 . Для этого в MathCAD введем следующую формулу:

Однако многие уравнения подчас не имеют аналитического решения. В таких случаях приходится применять численные методы. В MathCAD для приближенного отыскания корня функции F(x) используется встроенная функция root(F(x), x), перед вызовом которой необходимо задать начальное прибли-жение. На рис. 19 приведен пример нахождения корня функции F (x) = -64+25x-8x2+2x3. В нем сначала определяется функция F (x) , затем задается начальное приближение x = 1 и находится корень x₁ .

Рис. 19 Приближенное нахождение корня функции