Функция rkfixed

Эта функция записывается в виде rkfixed(y,x1,x2,n,F)и возвращает матрицу решений методом Рунге-Кутта системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с начальными условиями в векторе у. Правые части системы должны быть записаны в символьном векторе F, решение на интервале от x1 до х2 находится за фиксированное число шагов n. В качестве примера рассмотрим дифференциальное уравнение Ферхюлста

,

имеющее аналитическое решение

,

называемое логистической кривой и описывающее процессы с насыщением во многих процессах в биологии и экономике [4, 7].

Численное решение дифференциального уравнения Ферхюлста

Начальное условие

Решение

Рис. 28. График решения уравнения Ферхюлста - логистическая кривая

Численное решение систем дифференциального уравнения представляется в виде таблицы (матрицы) из двух столбцов с номерами 0,1,2, в которых размещаются значения t и y. При построении графика у осей координат указываются наименования столбцов или номера строк таблицы n=0..99 соответствующие шагам алгоритма. Построение графиков решений (интегральных кривых) двумя указанными способами выполнено на
рис. 28.

Примеры решения системы двух дифференциальных уравнений для экономических задач приведены в [7,8]. Дифференциальные уравнения порядка выше первого должны быть предварительно приведены к системе уравнений первого порядка. Рассмотрим для уравнения, описывающего изменение рыночных цен

,

задачу Коши с начальными условиями

.

Приведем исходное уравнение второго порядка к системе двух уравнений первого порядка с помощью замены

.

Задача Коши примет вид

.

Численное решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений представляется в виде таблицы (матрицы) из трех столбцов с номерами 0,1,2, в которых размещаются значения t, y₀и y₁. При построении графика у осей координат указываются наименования столбцов: Z<0>, Z<1>, Z<2>, причем символы <0>, <1>, <2> вводятся с помощью палитры Matrix (Матрицы). Номера строк таблицы n=0..99 соответствуют шагам алгоритма.

Начальные условия

Правые части системы уравнений

Численное решение задачи на интервале (0,7) проведено методом Рунге-Кутта

График решения показан на рис. 29. При функция имеет асимптоту и колеблется около нее. Это означает, что цены стремятся к установившемуся значению с колебаниями около него с затухающей амплитудой. Такое поведение соответствует действительным изменениям цен в условиях рыночной экономики.

Рис. 29. Изменение со временем рыночной цены