Системы компьютерной алгебры снабжаются специальным процессором для выполнения аналитических (символьных) вычислений. Его основой является ядро, хранящее всю совокупность формул и формульных преобразований, с помощью которых производятся аналитические вычисления. Чем больше этих формул в ядре, тем надежней работа символьного процессора и тем вероятнее, что поставленная задача будет решена, если такое решение существует. Ядро символьного процессора системы MathCAD — несколько упрощенный вариант ядра известной системы символьной математики Maple фирмы Waterloo Maple Software.
Символьные операции можно выполнять двумя способами:
Ø С помощью операторов символьного преобразования, используя палитру инструментов Symbolic (Символы) (рис. 24).
Ø Непосредственно в командном режиме, используя операции меню Symbolics (Символы) (рис. 25-27).
Рис. 24. Вычисления с помощью палитры инструментов Символы
Для того, чтобы символьные операции выполнялись процессором, необходимо выделить выражение синей сплошной линией. Для ряда операций следует указать переменную, относительно которой выполняется операция. Само выражение в таком случае не выделяется.
Если в документе есть выделенное выражение, то с ним можно выполнять различные операции меню Symbolics (Символы), представленные ниже:
Ø Evaluate (Расчеты) — преобразовать выражение с выбором вида преобразований из подменю;
Ø Floating Point… (С плавающей запятой…)– вычислить выделенное выражение в вещественных числах;
Ø Complex (Комплексные)– выполнить вычисления в комплексном виде;
Ø Simplify (Упростить) — упростить выделенное выражение с выполнением таких операций, как сокращение подобных слагаемых, приведение к общему знаменателю, использование основных тригонометрических тождеств и т д.;
Ø Expand (Расширить) — раскрыть выражение [например, для (Х + Y) (Х - Y) получаем X 2- Y 2];
Ø Factor (Фактор) — разложить число или выражение на множители [например, для X 2- Y 2 получим (Х + Y) (Х - Y)];
Ø Collect (Подобные)— собрать слагаемые, подобные выделенному выражению, которое может быть отдельной переменной или функцией со своим аргументом (результатом будет выражение, полиномиальное относительно выбранного выражения);
Ø Polynomial Coefficients (Коэффициенты Полинома)— по заданной переменной найти коэффициенты полинома, аппроксимирующего выражение, в котором эта переменная использована.
После выделения переменной путем установки на ней маркера ввода (или ее указания после запятой, как на рис. 24) становятся доступными следующие операции подменю Variable (Переменные):
Ø Solve (Вычислить)— найти значения выделенной переменной, при которых содержащее ее выражение становится равным нулю;
Ø Differentiate (Дифференциалы) — дифференцировать выражение, содержащее выделенную переменную, по этой переменной (остальные переменные рассматриваются как константы);
Ø Integrate (Интеграция)— интегрировать все выражение, содержащее переменную, по этой переменной;
Ø Expand to Series… (Разложить на составляющие…)— найти несколько членов разложения выражения в ряд Тейлора относительно выделенной переменной;
Ø Convert to Partial Fraction (Преобразование в Частичные Доли)— разложить на элементарные дроби выражение, которое рассматривается как рациональная дробь относительно выделенной переменной.
Рассмотрим подробнее операциюРазложить на составляющие... . Она возвращает разложение в ряд Тейлора выражения относительно выделенной переменной с заданным по запросу числом членов ряда n (число определяется по степеням ряда). По умолчанию задано п = 6. В разложении указывается остаточная погрешность разложения. На рис. 25 представлено применение этой операции для разложения функции . Минимальная погрешность получается при малых значениях х.
Рис. 25. Разложение функции в ряд Тейлора
Операции с выделенными матрицами представлены позицией подменю Матрицы, которая имеет подменю со следующими операциями:
Ø Transpose (Транспонирование) — получить транспонированную матрицу;
Ø Invert (Инвертирование) — получить обратную матрицу;
На наглядность вычислений влияет стиль представления их результатов. Команда Стиль Вычислений... позволяет задать вывод результата символьной операции под основным выражением, рядом с ним или вместо него (рис. 26).
Рис. 26. Стиль Вычислений
Особо следует отметить возможность выполнения численных вычислений с повышенной точностью до 20 знаков после запятой. Для перехода в такой режим вычислений нужно числовые константы в вычисляемых объектах задавать с обязательным указанием десятичной точки, например 10.0 или 3.0, а не 10 или 3. Этот признак является указанием на проведение вычислений такого типа.
На рис. 27 даны типовые примеры действия операцииРасчеты: слева показаны исходные выражения, подвергаемые символьным преобразованиям, а справа — результат этих преобразований. Эта операция позволяет в символьном виде вычислять суммы (и произведения) рядов, производные и неопределенные интегралы, выполнять символьные и численные операции с матрицами. КомандаСимволические всплывающего меню операции Расчетыявляется наиболее важной. Назначение других команд очевидно: они нужны, если результат требуется получить в форме комплексного или действительного числа. К примеру, если вы хотите вместо числа p получить 3.1415, используйте командуС плавающей запятой….В режиме символьных вычислений результат может превосходить машинную бесконечность системы — см. пример на вычисление ехр(1000.0) на рис. 26. При этом число точных значащих цифр результата практически не ограничено (или, точнее говоря, зависит от емкости ОЗУ).
Рис. 27. Вычисления с помощью операции меню Символическиеоперации Расчеты
(рис. 24).
. Минимальная погрешность получается при малых значениях х.
