Дифференциальных уравнений

Многие серьезные физические и научно-технические задачи базируются на решении систем дифференциальных уравнений. Нелинейные дифференциальные уравнения и системы с такими уравнениями, как правило, не имеют аналитических методов решения, и здесь особенно важна возможность их решения численными методами. В большинстве случаев желательно представление решений в графическом виде. Эти возможности системы MathCAD и рассматриваются ниже.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию y=f(x) и ее производные y', y'', y''', …, y⁽ⁿ⁾. Символически дифференциальное уравнение записывается

или

.

Если искомая функция y=f(x) есть функция одного независимого переменного, то дифференциальное называется однородным (ОДУ). Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y=f(x), которая при подстановке ее вместе с производными в это уравнение обращает последнее в тождество.

Обыкновенное дифференциальное уравнение или система ОДУ имеет единственное решение, если помимо уравнения определенным образом заданы начальные или граничные условия. Имеются два типа задач, которые можно решить с помощью MathCAD:

- задача Коши – для которых определены начальные условия на искомые функции, т.е. заданы значения этих функций в начальной точке интервала интегрирования уравнения;

- краевые задачи – для которых заданы определенные соотношения сразу на обеих границах интервала.

Для численного интегрирования ОДУ в MathCAD имеется выбор:

1. Вычислительный блок Given / Odesolve, состоящий их трех частей:

- Given – ключевое слово;

- ОДУ и начальные или граничные условия;

- Odesolve(х, х1, [, step]) – встроенная функция для решения ОДУ относительно переменной х на интервале (х0, х1) с шагом интегрирования step.

Результатом применения блока Given / Odesolve является функция, определенная на промежутке (х0, х1).

Функция Odesolve решает поставленную задачу методом Рунге-Кутты четвертого порядка с фиксированным шагом. Для решения задачи методом Рунге-Кутты с автоматическим выбором шага необходимо нажатием правой кнопки мыши на области функции вызвать контекстное меню и выбрать в нем пункт Адаптивно.

Встроенная функция Odesolve предназначена для решения дифференциальных уравнений, линейных относительно старшей производной.

2. Встроенные функции, решающие ОДУ различными численными методами:

- rkfixed (y0, х0, х1, P, D) – метод Рунге-Кутты с фиксированным шагом;

- Rkadapt (y0, х0, х1, P, D) – метод Рунге-Кутты с переменным шагом;

- Bulstoer (y0, х0, х1, P, D) – метод Булирша-Штера;

где y0 – вектор начальных условий;

х0, х1 – интервал интегрирования;

P – число шагов интегрирования;

D – векторная функция, задающая систему ОДУ.

Каждая из приведенных функций выдает решение в виде матрицы размером (M+1)´(N+1). В ее левом столбце находятся значения аргумента х, а в остальных столбцах – значения искомой функции y₀(х), y₁(х), …, y_n-1(х), рассчитанные для этих значений аргумента.

Встроенные функции предназначены для решения задачи Коши и граничных задач, для систем обыкновенных дифференциальных уравнений в нормальной форме.

Следует отметить, что в дифференциальных уравнениях символ производной можно ввести как в виде знака дифференциала, так и с помощью штриха.