Математический анализ

Наиболее ярким проявлением возможностей символьного MathCAD являются аналитические вычисления пределов, производных, интегралов и разложений в ряд, а также решение алгебраических уравнений. Все эти операции находятся в подменю Переменные в меню Символы. Соответственно требуется предварительное выделение в выражении переменной, относительно которой будет совершаться операция. Все перечисленные операции можно осуществлять и при помощи оператора символьного вывода.

9.3.1. Дифференцирование

Рис.39. Дифференцирование по переменной

Чтобы аналитически продифференцировать выражение по некоторой переменной, выделите в нем эту переменную и выберите команду Символы / Переменные / Дифференциалы. В результате в следующей строке за выражением появится значение ее производной. Для того чтобы найти вторую производную, повторно примените эту последовательность действий, но уже к полученному результату дифференцирования.

Также находятся и производные высших порядков. Пример приведен на рис.39.

9.3.2 Интегрирование

Для вычисления неопределенного интеграла от некоторого выражения по определенной переменной выделите в выражении переменную и выполните команду меню Символы / Переменные / Интеграция. Результат интегрирования может содержать как встроенные в MathCAD функции, так и другие спецфункции, которые нельзя рассчитать в MathCAD, но символьный процессор "умеет" выдавать их в качестве результата некоторых символьных операций. Примеры интегрирования приведены на рис.40.

Рис.40. Интегрирование по переменной

9.3.3. Разложение в ряд

С помощью символьного процессора MathCAD возможно получить разложение в ряд Тейлора по любой переменной х в точке х=0, т.е. представить выражение в окрестности точки х суммой вида а₀+а₁х+а₂х²+а₃х³…. Здесь а_i – некоторые коэффициенты, не зависящие от х, но, возможно, являющиеся функциями других переменных, входящих в исходное выражение. Если выражение имеет в точке х=0 особенность, то соответствующее разложение называют рядом Лорана.

Чтобы разложить выражение в ряд:

1. Введите выражение.

2. Выделите значение переменной, по которой требуется получить разложение в ряд.

3. Выполните команду Символы / Переменные / Разложить на составляющие.

4. В появившееся диалоговое окно введите желаемый порядок аппроксимации и нажмите кнопку ОК.

Результат разложения появится под выражением. Не забывайте, что разложение строится только в точке х=0. Чтобы получить разложение в другой точке х=а, можно подставить вместо переменной х значение х-а.

Для разложения в ряд с помощью оператора символьного вывода, используйте ключевое слово series, вставляя его одноименной кнопкой панели Символы. После ключевого слова series, через запятую, указываются имя переменной и порядок аппроксимации.

Примеры разложения в ряд выражения приведены на рис.41.

Рис.41. Разложение в ряд Тейлора

9.3.4. Решение уравнений

С помощью символьного процессора можно вычислить аналитически значение переменной, при котором выражение обращается в ноль. Для этого:

1. Введите выражение.

2. Выделите переменную, относительно которой будет решаться уравнение, приравнивающее выражение к нулю.

3. Выберите в меню Символы пункт Переменные / Вычислить (рис.42).

Рис.42. Символьное решение уравнений