Задачи линейной алгебры

Цель: Научиться работать с матрицами в MathCAD.

В задачах линейной алгебры практически всегда возникает необходимость выполнять различные операции с матрицами. Предварительно матрицу нужно определить и ввести в рабочий документ MathCAD. Для того чтобы определить матрицу, введите с клавиатуры имя матрицы и знак присваивания – нажмите на клавиатуре комбинацию клавиш <Shift> + <ж>. Затем щелкните по кнопке в панели математических инструментов, чтобы открыть панель операций с матрицами и векторами (рис. 2).

Рис. 2. Панель операций с матрицами и векторами

Откройте щелчком по кнопке окно диалога (рис. 3), определите число строк (Rows), число столбцов (Columns) и закройте окно диалога, щелкнув по кнопке Ok.

Рис. 3. Окно диалога определения размеров матрицы

В рабочем документе справа от знака присваивания появится поле ввода матрицы с помеченными позициями для ввода элементов. Для того чтобы ввести элемент матрицы, установите курсор в помеченной позиции и введите с клавиатуры число или выражение. Фрагмент рабочего документа MathCAD в момент ввода элементов матрицы приведен ниже.

Большинство вычислений с матрицами, как и другие вычисления в MathCAD, можно выполнить тремя способами – с помощью панелей инструментов, выбором операции в меню или обращением к соответствующей функции.

Панель операций с матрицами и векторами открывается щелчком по кнопке в панели математических инструментов. За кнопками панели (см. рис. 2) закреплены следующие функции:

– определение размеров матрицы;

– вычисление определителя матрицы вычисление длины вектора

– определение столбца матрицы: M^<j> – j-й столбец матрицы;

– транспонирование матрицы: M = {m_ij}, M^T = {m_ji}

– вычисление скалярного произведения векторов:

– вычисление векторного произведения двух векторов: .

Для того чтобы выполнить какую-либо операцию с помощью панели инструментов, нужно выделить матрицу и щелкнуть в панели по соответствующей кнопке.

Меню символьных операций с матрицами (рис. 4) содержит три функции – транспонирование (Transpose), обращение матрицы (Invert) и вычисление определителя матрицы (Determinant).

Рис. 4. Меню символьных операций с матрицами

Если требуется произвести какую-либо операцию через меню, нужно выделить матрицу и щелкнуть в меню по строке операции.

Опишем наиболее часто используемые функции.

matrix(m, n, f) – создает и заполняет матрицу размерности m×n, элемент которой, расположенный в i-й строке, j-м столбце, равен значению f(i, j) функции f(x, y);

diag(v) – создает диагональную матрицу, элементы главной диагонали которой хранятся в векторе v;

identity(n) – создает единичную матрицу порядка n;

augment(A, B) – формирует матрицу, в первых столбцах которой содержится матрица А, а в последних – матрица В (матрицы А и В должны иметь одинаковое число строк);

stack(A, B) – формирует матрицу, в первых строках которой содержится матрица А, а в последних – матрица В (матрицы А и В должны иметь одинаковое число столбцов);

Номер первой строки (столбца) матрицы или первой компоненты вектора хранится в MathCAD в переменной ORIGIN. По умолчанию в MathCAD координаты векторов, столбцы и строки матрицы нумеруются начиная с 0 (ORIGIN:=0). Поскольку в математической записи чаще используется нумерация с 1, здесь и в дальнейшем перед началом работы с матрицами будем определять значение переменной ORIGIN равным 1, т.е. будем прежде всего выполнять команду ORIGIN:=1.

· rows(A) – вычисление числа строк в матрице А;

· cols(A)– вычисление числа столбцов матрицы А;

· max(A)– вычисление наибольшего элемента в матрице А;

· tr(A)– вычисление следа квадратной матрицы А (след матрицы равен сумме ее диагональных элементов);

· lsolve(A, b) – решение системы линейных алгебраических уравнений Ax = b.

Вычисления с использованием описанных функций выполняются стандартным для MathCAD способом. Чтобы обратиться к функции, введите с клавиатуры имя функции, перечислите в скобках ее аргументы, введите знак равенства и щелкните по свободному месту в рабочем документе вне выделяющей рамки. Результат вычислений в соответствующем виде будет отображен в рабочем документе справа от знака равенства.

Имя функции можно вставить из списка: щелкните по месту вставки, затем – по строке Choose Function в меню Math, выберите в окне списка стрелками прокрутки нужную функцию и подтвердите выбор щелчком по кнопке Ok в окне диалога (рис. 5)

Рис. 5. Меню и окно диалога выбора функции