РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Лабораторная работа №3.

Постановка задачи.Задано нелинейное алгебраическое уравнение f(x)=0.Решением уравнения является значение x*, такое, что f(x*)=0.Решить уравнение приближенным (итерационным) методом ‑ значит построить последовательность {x_n} (n ‑ номер итерации, т.е. приближения к решению), сходящуюся к точному решению уравнения: Итерационный метод задается рекуррентной формулой, позволяющей определить последующее приближение по известным предыдущим. Итерационный процесс заканчивается, когда ÷f(x_n)÷<e; или |x_n-x*|<e, где e ‑ точность метода, некоторое наперед заданное число. Перед тем, как начать решение уравнения итерационным методом, необходимо исследовать уравнение на наличие корней и для каждого из корней найти свой интервал изоляции [a,b],содержащего единственный корень уравнения. Условием того, что на отрезке [a,b] существует корень уравнения является f(a)f(b)<0.

Описание методов решения. Для исследования уравнения используют следующие методы: аналитический, графический и табличный. В настоящей работе функцию будем исследовать с помощью табличного и графического способа. После того, как интервалы изоляции построены, можно решить уравнение с помощью приведенных ниже методов.

1) Метод деления отрезка пополам.Определяем середину отрезка [a,b]: и проверяем, какому из двух отрезков (a,c) или (c,b) принадлежит искомый корень, т.е. проверяем: f(a) f(c)<0 либо f(c) f(b)<0. Концы нового отрезка, которому принадлежит корень, обозначаем a, b и повторяем процедуру до тех пор, пока не будет достигнуто условие сходимости итерационного процесса: |b-a|<e.

2) Метод Ньютона.Выберем начальное приближение x₀Î[a,b]. Следующие итерации определяются по формуле .

3) Метод секущих.Выберем начальное приближение x₀Î[a,b] и найдем x₁ по одному из описанных выше методов. Можно также положить: x₀=a, x₁=b. Если две предыдущие итерации известны, cследующую находим по формуле .

4)Метод простой итерации. Приведем исходное уравнение к виду, удобному для применения метода простой итерации: x = j(x), где, например, j(x)= x ‑ t f(x). Параметр t подберем таким образом, чтобы выполнялось достаточное условие сходимости метода: ÷j¢(x)÷<1для всех xÎ[a,b]. Выберем начальное приближение x₀Î[a,b]. Следующие итерации находим по формуле: x_k+1=j(x_k).