Теорема 8. Пусть 
(1) - система n линейных уравнений с n неизвестными над полем P, А= 
- основная матрица системы (1), 
= 
. Если 
, то система (1) имеет единственное решение: 
, 
, …, 
, где 
- определитель, полученный из заменой i-го столбца на столбец свободных членов, i= 
, т.е.
= 
, 
= 
. , … , 
= 
.
Доказательство. Пусть Х= 
, В= 
. Тогда система (1) равносильна матричному уравнению АХ=В (2). Действительно, 
.
Следовательно, чтобы решить систему (1), достаточно решить уравнение (2).
Так как 
0, то по теореме 5 матрица А невырождена и, по теореме 2, А – обратимая матрица 
существует А-1 уравнение (2) имеет единственное решение X=A-1B 
=
Теорема доказана.
Замечание. Если =0, то возможны 2 случая:
1. Если =0, i= , то система (1) имеет бесконечное число решений
2. Если найдется 
, то система (1) не имеет решений.
