Формула для вычисления обратной матрицы

Теорема 7. Пусть A= - матрица n-го порядка над полем P. Если определитель = 0, то существует А , причем А = , где А_ij - алгебраическое дополнение к элементу а_ij в матрице А, i= , j= .

Доказательство. Так как , то, по теореме 5, А – невырожденная матрица. Значит, по теореме 2, А – обратимая матрица и A^-1 существует.

Пусть B= = . Покажем, что В=А^-1, т.е. покажем, что АВ=ВА=Е_n. Действительно,

АВ= = ⋅ =

= = E_n, т.е. АВ=Е_n.

Аналогично доказывается, что ВА=Е_n . Таким образом, В=А^-1. Теорема доказана.