Алгоритм нахождения ранга матрицы А.

1. При помощи НЭП привести матрицу А к ступенчатому виду В, B∼А.

2. Подсчитать количество ненулевых строк в матрице В.

Определение 8. Матрица А n-го порядка называется невырожденной, если r(A)=n, то есть ее ранг совпадает с количеством строк. В противном случае (если r(A)<n) матрица А называется вырожденной.

Теорема 1(критерий невырожденности матрицы). Пусть А – матрица n-го порядка над полем Р.

Матрица А невырождена Ûпри помощи НЭП А приводится к виду E_n.

Лемма 2. Пусть А и B – матрицы n-го порядка. Если матрица А вырождена, то и матрица С=АВ вырождена./

Теорема 2(критерий обратимости матрицы). Пусть А – матрица n-го порядка над полем Р.

Матрица А обратима ÛА невырождена.

Доказательство.I. Необходимость. Пусть А – обратимая матрица. Докажем, что матрица А невырождена. Допустим, что А – вырожденная матрица. Так как А обратима, то существует обратная ей матрица В: АВ=ВА=Е_n. Согласно лемме 2, из того, что матрица А вырождена следует, что матрица АВ вырождена, т.е. Е_n – вырожденная матрица. Это, по определению 8, означает, что r(E_n)<n. Но, поскольку E_n имеет ступенчатый вид, то по определению 7, ее ранг очевидно равен n. Противоречие. Следовательно, А – невырожденная матрица.

II. Достаточность. Пусть А – невырожденная матрица. Тогда по теореме 1 матрица А с помощью цепочки последовательных НЭП приводится к матрице Е_n. В силу леммы 1, существуют элементарные матрицы S₁,…,S_p, соответствующие этим преобразованиям, такие, что (S_p…(S₂(S₁A))...)=E_n Þ (S_p…S₂S₁)A=E_n. Пусть S_p⋅…⋅S₁=B Þ BA=E_n (1).

Допустим, что В – вырожденная матрица Þпо лемме 2, ВА – вырожденная матрица Þ Е_n – вырожденная матрица Þr(E_n)<n. Противоречие. Следовательно, В – невырожденная матрица. По теореме 1, матрица В с помощью НЭП и приводится к матрице Е_n. Тогда, как и выше, существуют элементарные матрицы R₁,…,R_t, соответствующие этим преобразованиям, такие, что (R_t…(R₂(R₁B))...)=E_n Þсуществует матрица С= R₁⋅…⋅R_t, такая что СВ=Е_n (2)

Тогда C СЕ_n C(BA) =(CB)A E_n A A , т.е. C=A. Подставляя в (2), получим AB=E_n (3). Из (1) и (3) получаем АВ=ВА=Е_n ÞВ – обратная матрица для А, т.е В=А^-1 и A – обратимая матрица. Теорема доказана.

Замечание 2. Из доказательства теоремы 2 при выводе формулы (1) следует, что (S_p…S₂S₁)A=E_n (4)

Также получено, что матрица В=А^-1= S_p…S₂S₁. Заметим, что BЕ_n=B , т.е. (S_p…S₁)E_n=A^-1 (5).

Получаем, что если элементарные преобразования, соответствующие матрицам S_p,…,S₁, приводят матрицу А к матрице Е_n (см.(4)), то эти же элементарные преобразования приводят матрицу Е_n к матрице А^-1 (см.(5)). Отсюда вытекает

алгоритм вычисления обратной матрицы:

1) составить матрицу вида (А|Е_n).

2) привести в матрице (А|Е_n) подматрицу А к единичной матрице Е_n. При этом, подматрица Е_n, стоящая справа, будет приведена к матрице А^-1, т.е. получим матрицу (Е_n|А^-1).