Элементарные преобразования матриц. Матричные уравнения.

Определение 1. Матрица n-го порядка над полем Р называется единичной, если у нее на главной диагонали находятся единицы, а на остальных местах – нули, и обозначается Е_n, т.е. Е_n= .

Замечание 1. Пусть А - матрица n-го порядка над полем Р. Тогда АЕ_n= Е_nА=A

Определение 2. Пусть А - матрица n-го порядка над полем Р. Матрица A^-1 n-го порядка над P называется обратной к матрице А, если А A^-1= A^-1А=Е_n .

Матрица A называется обратимой, если для неё существует обратная матрица A^-1.

Определение 3. Невырожденными элементарными преобразованиями (НЭП) матрицы А над полем Р называются следующие

НЭП 1: Умножение всех элементов какой-нибудь строки матрицы А на скаляр aÎР, a≠0.

НЭП 2: Умножение всех элементов какой-нибудь строки матрицы А на скаляр aÎР и прибавление их к соответствующим элементам другой строки.

Определение 4. Матрица В называется эквивалентной матрице А, если В получена из А с помощью НЭП, и обозначается B∼А.

Определение 5. Элементарной матрицей n-го порядка над полем P называется матрица E_a(i,j), полученная из E_n заменой элемента i-ой строки j-го столбца на aÎP.

Лемма 1. 1) 1-му НЭП (умножению всех элементов i-ой строки матрицы А на скаляр aÎР, a≠0) соответствует умножение матрицы А слева на элементарную матрицу E_a(i,i).

2) 2-му НЭП (умножению всех элементов j-ой строки матрицы А на скаляр aÎР и прибавлению их к соответствующим элементам i-ой строки) соответствует умножение матрицы А слева на элементарную матрицу E_a(i,j), i ¹ j.

Пример. Для матрицы А 3-го порядка:

E_a(2,2)⋅А= ⋅ =

E_a(2,3)⋅А= ⋅ =

Определение 6. Ступенчатой матрицей (матрицей ступенчатого вида) называется матрица А_mn такая, что в каждой последующей её строке первый ненулевой элемент (считая слева направо) находится правее, чем в предыдущей.

Пример. Матрицы ступенчатого вида
, , Е_n= .

Определение 7. Рангом матрицы A называется число ненулевых строк в ступенчатой матрице B, эквивалентной матрице А. И обозначается r(A).

Из определения 7 следует