ОСНОВНАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ

Физические процессы в любом полупроводниковом при­боре могут быть описаны системой нелинейных дифферен­циальных уравнений в частных производных. Эта система в общем виде содержит два уравнения для плотностей то­ков электронов и дырок, два уравнения непрерывности электронов и дырок и четыре уравнения Максвелла и опи­сывает поведение носителей заряда в пространстве и во вре­мени.

Ток носителей заряда определяется их диффузией и дрейфом в электрическом поле. Уравнение для плотности токов электронов и дырок содержит две составляю­щие— дрейфовую (первый член) и диффузионную (второй член):

где q=1,602∙10^-19 Кл — элементарный заряд; n, p — кон­центрация электронов и дырок соответственно; μ_n, μ_p — подвижность электронов и дырок; D_n, D_p — коэффициенты диффузии электронов и дырок; Е — вектор напряженности электрического поля в декартовой системе координат:

Величина Е связана с потенциалом j соотношением

Е_х, Е_у, Е_г — составляющие вектора напряжен­ности электрического поля по осям х, у, z, а е₁ е₂, е₃ — еди­ничные орты, совпадающие по направлению с осями х, у, z. Градиент концентрации электронов

Аналогичным образом выражается градиент концентрации дырок.

Для невырожденного полупроводника (в кремнии при концентрации носителей заряда меньше концентрации вы­рождения ~2-10¹⁹ см^-3 для 7=300 К) коэффициент диффузии связан с подвижностью носителей заряда соотношением Эйнштейна

где k=1,38-10^-23 Дж/К=8,62-10-⁸ эВ/К — постоянная Больцмана; Т — абсолютная температура, К; j_T=kT/q-температурный потенциал, составляет 0,0258 В при 300 К.

Уравнение непрерывности для электронов имеет вид:

Это уравнение описывает сохранение общего количества электронов и связывает изменение концентрации электро­нов п в некотором заданном элементарном объеме во времени (правая часть уравнения) с изменением n в этом объеме за счет протекания тока электронов (первый член ле­вой части), а также за счет генерации Gn или рекомбина­ции Rn электронов. Величина Rn называется темпом (ско­ростью) рекомбинации электронов и определяется уменьше­нием концентрации электронов в элементарном объеме в единицу времени вследствие рекомбинации. Темп генера­ции определяется увеличением концентрации электронов за счет теплового, ударного, оптического и других механизмов генерации. В условиях термодинамического равновесия ре­комбинация электронов полностью уравновешивает их теп­ловую генерацию, поэтому Rn = Gn. Если нет ударной и оп­тической генерации, то генерация электронов возможна только за счет тепловой энергии. В этом случае можно го­ворить о результирующем эффекте генерации — рекомби­нации, введя обозначение RG = Rn—Gn.

Аналогично записывается уравнение непрерывно­сти для дырок:

Напомним, что дивергенция векторной величины определя­ется выражением

Из многих известных механизмов рекомбинации в крем­нии и германии доминирующим является механизм реком­бинации носителей заряда через ловушки. Ловушками (цен­трами рекомбинации) могут служить атомы ряда элементов таблицы Д. И. Менделеева (золото, платина, медь, се­ребро и др.), дефекты кристаллической решетки. Ловушки, как правило, создают ряд уровней в запрещенной зоне по­лупроводника, однако наиболее эффективен с точки зрения рекомбинации один из уровней, который наиболее близок к середине запрещенной зоны. В модели рекомбинации, учи­тывающей процессы рекомбинации носителей заряда через ловушки, имеющие один-единственный энергетический уро­вень Et в запрещенной зоне (модель Шокли-Рида-Холла), темп генерации — рекомбинации носителей заряда опреде­ляется выражением

Где Nt — концентрация ло­вушек; ал, σ — сечения захвата электрона или дырки на ло­вушку соответственно; Vt — тепловая скорость носителя за­ряда, приблизительно равная 10⁷см/с при T=300К; кон­центрации n₁ и p₁ определяются выражениями

если в них вместо Ef подставить Et.

В общем случае систему уравнений необходимо дополнить четырьмя уравнениями Максвелла. Если не рассматривать влияние внешних маг­нитных полей и предположить, что собственное магнитное поле, обусловленное протеканием тока через прибор, мало (для кремния и германия в рабочем диапазоне температур это допущение справедливо), то достаточно рассматривать только уравнение Пуассона divD=ρ, которое в случае изо­тропного полупроводника имеет вид

Таким образом, основная система уравнений состоит из пяти перечисленных уравнений, которые являются основой анализа процессов в полупроводниковых приборах. Эту си­стему уравнений часто называют фундаментальной систе­мой уравнений (ФСУ) физики полупроводниковых приборов.

Диоды на основе электронно-дырочного перехода нашли наибольшее применение. Элект­ронно-дырочный переход можно создать внутри полупро­водника, если ввести в одну его область донорную примесь, а в другую акцепторную (рис. 3). В рабочем диапа­зоне температур атомы примесей полностью ионизованы, концентрации электронов в n-области, а дырок в р-области, т. е. концентрации основных носителей заряда вдали от границы раздела р- и n-области, можно считать равными концентрации соответствующей примеси: n_n0≈N_D, p_p0≈N_A. Равновесные концентрации неосновных носителей будут равны: n_p0=n_i^2/p_p0 p_n0= n_i^2/ n_n0. Будем считать, что полупроводник достаточно сильно легирован, т.е. n_n0 >> n_i, p_p0 >> n_i и поэтому p_n0<< n_i , n_n0<< n_i. Для определенности по­ложим, что Na>>Nd> т,е. будем рассматривать резконесимметричный p-n переход.

Рис.3. Диаграммы несимметричного p-n перехода

Рассмотрим физические процессы, происходящие в областях р-n перехода в ус­ловиях термодинамического равновесия, т. е. при посто­янной температуре и отсут­ствии внешнего напряжения смещения. Так как концент­рация дырок в р-области много больше концентрации дырок в n-области, то дырки из р-области будут диффун­дировать в n-область, при этом в р-области у границы раздела останутся непо­движные отрицательные ио­ны акцепторов и возникнет отрицательный объемный за­ряд— qNa. Дырки, перехо­дя в n-область, рекомбинируют с электронами, в результате чего концентрация электронов справа от границы уменьшается. Аналогично электроны из n-области (где их много) диффундируют в р-область (где их мало), при этом в n-области остаются нескомпенсированные положительные ионы доноров и возникает положи­тельный объемный заряд +qNd. Электроны, переходящие в p-облаcть, рекомбинируют с дырками, что также приво­дит к образованию нескомпенсированного отрицательного заряда ионов акцепторов вблизи границы раздела. В резуль­тате описанного выше процесса вблизи границы раздела образуется ОПЗ, в которой концентрация электронов и ды­рок понижена. ОПЗ имеет высокое электрическое сопро­тивление, и ее называют также запирающим слоем. Рас­пределение объемного заряда в ОПЗ р(х) показано на рис. 3, г. Электронно-дырочные переходы с распределе­нием легирующей примеси, изображенным на рис. 3, б, называют резкими переходами.

В отсутствии сужения запрещенной зоны можно показать, что контактная разность потенциалов будет равна

А полная ширина ОПЗ составит

где N*=Na∙Nd/(Na+Nd)