Логарифмические уравнения

Логарифмическое уравнение - это такое уравнение, в котором неизвестная стоит под знаком логарифма.

При решении логарифмических уравнений часто приходится логарифмировать или потенцировать обе части уравнения, что не всегда может привести к равносильным уравнениям.

Логарифмировать алгебраическое выражение - значит выразить его логарифм через логарифмы отдельных чисел, входящих в это выражение.

Пример

Задание. Прологарифмировать выражение

Решение. В левой и правой части допишем логарифм по основанию :

По свойствам логарифмов логарифм произведения, стоящий в правой части, представим как сумму логарифмов от каждого из сомножителей, то есть:

Если по данному результату логарифмирования находят выражение, от которого получен этот результат, то такая операция называется потенцированием.

Пример

Задание. Пропотенцировать выражение

Решение. Используя свойства логарифмов, преобразуем правую часть данного выражения:

1. Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение , причемоснование логарифма , а подлогарифмическое выражение .

Для любого действительного это уравнение имеет единственное решение .

A

Пример

Задание. Решить уравнение

Решение. Вначале находим область допустимых значений (ОДЗ): , тогда единственное решение уравнения

Ответ.

2. Логарифмическое уравнение вида

Здесь , - элементарная алгебраическая функция, причем, чтобы уравнение имело решение, должно выполняться неравенство .

Заменой данное уравнение приводится к простейшему логарифмическому уравнению , решение которого приведено в пункте 1.

Пример

Задание. Решить уравнение

Решение. ОДЗ:

Замена: , получаем уравнение , решение которого

Делая обратную замену, получаем:

Ответ.

Пример

Задание. Найти решение уравнения

Решение. ОДЗ:

Замена: . Делая обратную замену, приходим к уравнению

Второй корень не принадлежит ОДЗ, а значит решение

Ответ.

3. Логарифмическое уравнение вида

Здесь - отличное от единицы положительное число; и - элементарные алгебраические функции.

Решение логарифмических уравнений такого типа сводится к решению уравнения . Поэтому для решения рассматриваемого типа уравнений достаточно найти все решения уравнения и среди полученных выбрать те, которые относятся к ОДЗ уравнения . Если уравнение решений не имеет, то их не имеет и исходное логарифмическое уравнение.

Пример

Задание. Решить уравнение

Решение. Находим ОДЗ:

Решаем уравнение : ОДЗ.

Итак, решением исходного логарифмического уравнения также является это значение.

Ответ.