Натуральный логарифм

Основная статья: Натуральный логарифм

Из приведённой выше общей формулы производной для натурального логарифма получаем особенно простой результат:

По этой причине в математических исследованиях преимущественно используют именно натуральные логарифмы. Они нередко появляются при решении дифференциальных уравнений, исследовании статистических зависимостей (например, распределения простых чисел) и т. п.

Натуральный логарифм равен площади под гиперболой

Проинтегрировав формулу для производной в интервале от до , мы получаем:

Другими словами, натуральный логарифм равен площади под гиперболой для указанного интервала x.

Неопределённый интеграл от натурального логарифма легко найти интегрированием по частям:

В математическом анализе и теории дифференциальных уравнений большую роль играет понятие логарифмической производной функции :

Разложение в ряд и вычисление натурального логарифма [править]

Разложим натуральный логарифм в ряд Тейлора вблизи единицы:

(Ряд 1)

Это ряд сходится при . В частности:

Формула ряда 1 непригодна для практического расчёта логарифмов из-за того, что ряд сходится очень медленно и только в узком интервале. Однако нетрудно получить из неё более удобную формулу:

(Ряд 2)

Этот ряд сходится быстрее, а кроме того, левая часть формулы теперь может выразить логарифм любого положительного числа. Данный алгоритм уже пригоден для реальных численных расчётов значений логарифмов, однако не является наилучшим с точки зрения трудоёмкости. Существуют более эффективные алгоритмы

Десятичный логарифм [править]

Основная статья: Десятичный логарифм

Логарифмы по основанию 10 (обозначение: ) до изобретения калькуляторов широко применялись для вычислений. Они обладали преимуществом перед логарифмами с иным основанием: целую часть логарифма числа легко определить.

· Если , то на 1 меньше числа цифр в целой части числа . Например, сразу очевидно, что находится в промежутке .

· Если , то ближайшее к целое (в меньшую сторону) равно общему числу нулей в перед первой ненулевой цифрой, взятому со знаком минус. Например, находится в интервале .

Кроме того, при переносе десятичной запятой в числе на разрядов значение десятичного логарифма этого числа изменяется на . Например, . Отсюда следует, что достаточно составить таблицу десятичных логарифмов для чисел в диапазоне от до , причём привести в таблице только мантиссы (дробную часть) логарифмов.

Связь с натуральным логарифмом^[12]:

Поскольку применение логарифмов для расчётов с появлением вычислительной техники почти прекратилось, в наши дни десятичный логарифм в значительной степени вытеснен натуральным^[13]. Он сохраняется в основном в тех математических моделях, где исторически укоренился — например, при построении логарифмических шкал.