Решение простейших показательных уравнений. Цель: Необходимость введения логарифма. Поставить проблемную ситуацию (4 мин).

3.Изучение нового материала (15 мин).
Откройте, пожалуйста, тетради. Запишите дату и тему урока. «Логарифмы и их свойства».

Итак, вернемся к уравнению а^х=b, где а>0 и а≠1. Как нам уже известно, это уравнение не имеет решений при b≤0 и имеет единственный корень в случае b>0. Этот корень и называют логарифмом b по основанию а и обозначают

log_аb, т.е. х=log_аb, а^log_а^b=b.

Определение. Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b.

Формулу а^log_а^b=b (где b>0, а>0 и а≠1) называют основным логарифмическим тождеством.

Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1.

Найти значение:

а) log₂32

Заметим, что 32=2⁵, т.е. для того, чтобы получить число 32, надо 2 возвести в 5 степень. Следовательно, log₂32=5.

б) log₅0,04

Заметим, что 0,04=1/25=5^-2, поэтому log₅0,04=-2.

Пример 2.

Найти логарифм числа 1/9 по основанию √3.

Заметим, что (√3)^-4=1/9. Поэтому по определению логарифма log_√31/9=-4.

Пример 3.

Найти х такое, что:

а) log₈х=1/3.

Воспользуемся основным логарифмическим тождеством: х=8^log₈^х=8^1/3=2.

б) log_х8=-3/4.

Воспользуемся основным логарифмическим тождеством: х^log_х⁸=8, т.е. х^-3/4=8, откуда

х=8^-4/3=1/16.