Решение

Шаг:1

Избавимся от неравенств в ограничениях, введя в ограничения 1, 3 неотрицательные балансовые переменные s1, s2.

Шаг:2

Ищем в системе ограничений базисные переменные.

Из последней системы ограничений можно выделить базисную переменную s2.

Не все уравнения содержат базисные переменные, это значит, что исходная задача не содержит в себе допустимого базисного решения. Для его нахождения вначале составим и решим вспомогательную задачу. Такое решение еще называют решением с искусственным базисом.

Введем в уравнения 1, 2 искусственные неотрицательные переменные r1, r2 .

Получим следующую систему ограничений,

с базисными переменными r1,r2,s2.

Целью решения вспомогательной задачи является получение допустимого базисного решения не содержащего искусственных переменных (r1,r2). Для этого сформируем вспомогательную целевую функцию :

G = r1+r2

и проведем ее минимизацию в заданной системе ограничений. Если после минимизации функции G ее оптимальное значение будет равно нулю и все искусственные переменные окажутся выведенными из базиса, то полученное базисное решение есть допустимое базисное решение исходной задачи. Если же после минимизации функции G ее оптимальное значение окажется отличным от нуля, значит исходная система ограничений противоречива (область допустимых решений пуста) и исходная задача решения не имеет.

Для решения вспомогательной задачи симплекс-методом выразим функцию G через свободные переменные, для этого:

- вычтем из функции G уравнение 1

- вычтем из функции G уравнение 2

Функция G примет вид :

G = -6*x1+42*x2+3*x3+s1+12

Теперь мы можем сформировать начальную симплекс-таблицу.

Шаг:3

Начальная симплекс-таблица

Итерация 1-a

Получено оптимальное решение вспомогательной задачи (найден минимум функции G т.к. в строке целевой функции нет отрицательных коэффициентов). Все искусственные переменные вышли из базиса и поэтому мы можем приступить к решению исходной задачи, приняв полученное базисное решение в качестве опорного. Сторка "G" нам больше не нужна, принятие решения о направляющем столбце, во всех последующих итерациях, будем принимать по строке "Q"

Итерация 2

Итерация 3

Достигнуто оптимальное решение, т.к. в строке целевой функции нет положительных коэффициентов.

Ответ:

Оптимальное значение функции Q(x)=7

достигается в точке с координатами:

x1=12, x2=1, x3=6, s1=0, s2=0