Ряд Фур'є — в математиці — спосіб представлення довільної складної функції сумою простіших. В загальному випадку кількість таких функцій може бути нескінченною, при цьому чим більше таких функцій враховується при розрахунку, тим вищою стає кінцева точність представлення даної функції. В більшості випадків в якості найпростіших використовуються тригонометричні функції синуса і косинуса. В цьому випадку ряд Фур'є називається тригонометричним, а обчислення такого ряду часто називають розкладом на гармоніки.
Класичне визначення[ред. • ред. код]
Тригонометричним рядом Фур'є називають функційний ряд виду
Якщо ряд збігається, то його сума дорівнює періодичній функції з періодом , оскільки та є періодичними з періодом .
Сталі числа називаються коефіцієнтами тригонометричного ряду:
Загальне визначення[ред. • ред. код]
Нехай дано ортогональну систему в Гільбертовому просторі та — довільний елемент з . Послідовність чисел
називається координатами, або коефіцієнтами Фур'є елемента по системі , а ряд
називається рядом Фур'є елемента по ортогональній системі .
Справедлива так звана нерівність Бесселя:
Якщо виконується рівність Парсеваля
,
то нормована система називається замкненою.
Справедливе твердження: в сепарабельному евклідовому просторі будь-яка повна ортогональна нормована система є замкненою і навпаки.
1. Матриця. Види матриць. Операції над матрицями та їх властивості
2. Визначники другого і третього порядків, визначники вищих порядків та їх властивості. Теорема Лапласа . Методи обчислення визначників.
3. Система лінійних рівнянь. Основні означення. Ранг матриці. Критерій сумісності системи лінійних рівнянь. Теорема Кронекера-Капеллі. Розв'язування систем лінійних рівнянь методом Гауса
4. Розвязування систем n лінійних рівнянь з n невідомими. Формули Крамера. Обернена матриця. Матричний запис системи лінійних рівнянь і метод оберненої матриці її розв’язування.
5. Означення границі функції та границі послідовності. Основні правила відшукання границі функції та границі послідовності. Властивості границь функції.
6. Невизначеністі які зустрічаються при відшукані границі функції. Перша важлива границя. Друга важлива границя. Число е. Наслідки з другої чудової границі.
7. Неперервність функції. Дії над неперервними функціями.
8. Означення похідної. Зв'язок між диференційованістю і неперервністю функції. Основні правила диференціювання функцій. Похідна показниково-степеневої функції. Похідна вищих порядків.
9. Диференціал функції. Застосування диференціала до наближених обчисленнях. Диференціали вищих порядків.
10. Основні теореми диференціального числення. Правила Лопіталя.
11. Повне дослідження функції засобами диференціального числення (монотомність функції,опуклість,асимптоти).
12. Поняття первісної. Теорема про множину всіх первісних. Невизначений інтеграл. Таблиця основних інтегралів і її обґрунтування. Властивості невизначеного інтеграла.
13. Метод розкладу (безпосереднього інтегрування). Метод заміни змінної інтегрування функції. Рекомендації. Метод інтегрування за частинами. Рекомендації.
14. Інтегрування елементарних дробів I-IV типів. Теорема про правильного раціонального дробу у вигляді суми елементарних. Інтегрування раціональних функції.
15. Інтегрування деяких видів ірраціональностей.
16. Поняття визначеного інтеграла і необхідна умова його існування. Класи інтегрованих функції. Властивості визначеного інтеграла. Криволініїна трапеція. Обчислення площи криволінійних трапеції.
17. Визначений інтеграл із зміною верхньою границею інтеграції та його неперервність. Існування первісної для неперервної на проміжку функції. Формула Ньютона-Лейбніца.
18. Формули заміни змінної інтегрування за частинами визначеного інтеграла.
19. Невласні інтеграли та їх властивості.
20. Поняття функції кількох змінних. Границя функції кількох змінних. Неперервність функції кількох змінних. Властивості функції кількох змінних.
21. Частині похідні функції кількох змінних. Диференційованість функції декількох змінних в точці. Неперервність диференційованої функції. Існування частинних похідних диференційованої функції. Достатня умова диференційованої функції. Частинні похідні вищого порядку.
22. Екстремум функції кількох змінних. Найбільше та найменше значення функції кількох змінних.
23. Поняття числового ряду і його збіжність. Геометрична прогресія та гармонічний ряд. Найпростіші властивості збіжних рядів. Необхідна ознака збіжного ряду. Сума рядів та добуток ряду на число. Властивості операції над числовими рядами.
26. Критерії Коші збіжності ряду. Абсолютно та умовно збіжні ряди. Властивості абсолютно та умовно збіжних рядів.
27. Степеневі ряди. Теорема Коші-Адамара. Інтервал і радіус збіжності степеневого ряду. Властивості суми степеневого ряду.
28. Ряд Тейлора. Розклад елементарних функцій в степеневий ряд. Розкладання степеневий ряд функції.
29. Основні поняття теорії диференціальних рівнянь. Початкові умови. Задачі Коші.
30. Диференціальні рівняння першого порядку. Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними.
31. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку
32. Лінійні однорідні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами. Метод невизначених коефіцієнтів.
33. Скалярні і векторні величини. Вектор. Операції над векторами та їх властивості.
34. Координати вектора. Прямокутна декартова система координат на площині та в просторі. Вектори в прямокутній декартовій системі координат.
35. Скалярний векторний та мішаний добуток векторів та їх властивості. Рівняння прямої на площині. Взаємне розміщення двох прямих на площині. Кут між прямими. Умови паралельності та перпендикулярності двох прямих. Відстань від точки до площини.
36. Лінії другого порядку коло еліпс гіпербола парабола. Різні способи задання площини. Кут між двома площинами. Умови паралельності і перпендикулярності двох площин. Відстань від точки до площини.
37. Різні види рівнянь прямої в просторі. Кут між двома прямими. Умови паралельності і перпендикулярності прямих. Кут між прямою і площиною. Умови паралельності та перпендикулярності прямої і площини.
38. Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними
39. Лінійні диференціальні рівняння. Рівняння Бернуллі
40. Рівняння Бернуллі. Інтегруючий множник.
41. Однорідні і неоднорідні лінійні диференціальні рівняння
з періодом 
, оскільки 
та 
є періодичними з періодом 
називаються коефіцієнтами тригонометричного ряду:
та 
— довільний елемент з 
, а ряд
,