у=2х3 +3х2 +4. Функция возрастает на (-¥; -1] и на [0; +¥), убывает на [-1; 0].
[685] Функция задана на промежутках:
Найдите значение функции при указанном значении аргумента х. Постройте график этой функции.
[686] Треугольник задан стороной а и углами В, С. Найдите стороны b и с, угол А и площадь треугольника.
[687] Треугольник задан сторонами а и с, а также углом между ними В. Найдите сторону b, углы А и С, площадь треугольника.
[688] Треугольник задан координатами трех своих вершин. Найдите стороны, углы и площадь треугольника.
[689] Определите, в какой степени входит данное простое число р в разложение n! (n - факториал) на простые множители.
[690] Имеются два массива: двумерный натуральный массив А(М, N) и одномерный массив B(R), содержащий целые числа. Массив А генерируется датчиком случайных чисел, а элементы массива В вводятся в компьютер.
Если х0>5, то в массиве А упорядочите по возрастанию все элементы главной диагонали и результат выделите, отмечая красным цветом полученные элементы главной диагонали.
Если х0=5, то в массиве B все элементы, равные наибольшему элементу этого массива, замените на 1, все элементы, равные наименьшему элементу этого массива, замените на -1.
Если, наконец, х0<5, то в массиве А найдите "седловидный элемент", то есть являющийся наибольшим элементом в своей колонке и наименьшим элементом в своей строке. Отметьте зеленым цветом строку и колонку, в которых он находится.
[691] Напишите формулу бинома Ньютона (а+b)n для данного натурального n.
[692] Известно, что функция y=f(x) имеет единственный корень на отрезке [а; b]. Найдите этот корень методом половинного деления с любой наперед заданной степенью точности.
[693] Постройте параболу y=x2+px+q, где р и q подобраны так, что график параболы пересекает оси координат в трех точках. Проведите окружность через эти три точки.
[694] Даны n точек на координатной плоскости. Проведите окружность наименьшего радиуса, в которой содержатся все данные точки.
[695] Переведите запись числа из системы счисления с основанием р в систему счисления с основанием q, где р и q<=16.
[696] Решите систему n линейных уравнений с n неизвестными, используя метод последовательного исключения неизвестных, то есть метод Гаусса.
[697] Решите систему n линейных уравнении с n неизвестными, используя определители n-го порядка.
Тесты и результаты.
(1; 2,3; 4; 5).
[698] Треугольник задан сторонами а, b и с. Найдите его медианы, биссектрисы, высоты, площадь и периметр.
[699] “Магический n-угольник". Правильный n-угольник называется магическим, если в каждой его вершине и в каждой его стороне проставлены все натуральные числа от 1 до 2*n, и сумма чисел в вершине и прилежащих ей сторонах одинакова для каждой вершины. Для данного n распечатайте как можно больше магических n-угольников.
[700] Найдите наибольший общий делитель дробно - рациональной функции, если корни числителя и знаменателя являются целыми числами. Сократите дробь, определяя коэффициенты нового числителя и знаменателя.
Г Р А Ф И К А.
Первый уровень
[701] Даны две точки на плоскости: А(х1; у1) и В(х2; у2), не лежащие на осях координат. Проверьте, лежат ли эти точки в одной координатной четверти.
Тесты. 1). х1=-1, у1=1; х2=1,у2=-4. 2)х1=1,у1=2; х2=3, у2=4. Результаты.1) В разных. 2) В одной.
[702] Даны две точки на координатной плоскости: А(х1; у1) и В(х2;у2), не лежащие на осях координат. Определите, пересекает ли отрезок АВ оси координат.
[703] Даны числа х1, х2, х3, у1, у2, у3 - координаты трех вершин прямоугольника в прямоугольной системе координат. Определите координаты его четвертой вершины.
[704] Даны две прямые у=kх+b и y=cx+d. Выясните, параллельны ли они, пересекаются или совпадают. В случае пересечения определите, в какой четверти лежит точка пересечения.
[707] Зная координаты вершин ломаной, последовательно закрасьте ломаную семью разными цветами.
[708] Постройте изображение прямоугольного параллелепипеда. При этом верхнюю грань раскрасьте белым цветом , левую и правую - горизонтальной штриховкой.
[709]Построите n концентрических окружностей, радиусы которых образуют арифметическую прогрессию.
[710] Напишите программу движения геометрической фигуры, очищая экран многократным включением данной графической страницы.
[777] Составьте программу, вычерчивающую семейство одинаковых образов, созданных вами ранее, получающихся в результате параллельного переноса.
[712] Для зарисовки в центре экрана трех вложенных, раскрашенных в разные цвета квадратов необходимо сначала зарисовать квадрат с большей стороной, а затем на него поместить средний квадрат, последним зарисовывается наименьший квадрат. Длины сторон квадрата помещаются в переменные А, В, С, Запишите в переменную А - наибольшее из исходных чисел, в С - наименьшее, а в В -среднее по величине.
[713] Закрасьте графический экран вращающимся вокруг центра отрезком.
[714]Заставьте созданный графический образ перемещаться вдоль экрана вправо и вниз: а) сохраняя образ; б) стирая образ.
[715] Составьте программу "большой взрыв", соединяя центр экрана с точками, координаты которых произвольно генерируются датчиком случайных чисел.
[716] Имеется круг, заданный своим центром и радиусом. Случайным образом появляются точки в произвольном месте экрана. Подсчитайте количество точек, попадающих в данный круг. Определите процент попадания.
[717] Даны n точек на координатной плоскости. Найдите среди них две такие точки, чтобы расстояние между ними было максимальным
[718]Даны n точек на координатной плоскости. Найдите среди них три такие точки, чтобы площадь образованного ими тpeyгольника была минимальной.
[719] Даны n точек на координатной плоскости. Найдите среди них три такие точки, чтобы периметр образованногоими треугольника, был максимальным.
[720] Дано множество прямых вида y=kx+b. Найдите среди них все пары перпендикулярных прямых.
[721]Даны n точек на координатной плоскости. Из точек, расположенных во второй и четвертой четвертях, проведите перпендикуляры на оси координат.
[722] Изобразите на экране глобус с параллелями и меридианами.
[723]Нарисуйте на экране шахматную доску.
[724]Изобразите на экране систему координат и отрезки, для которых известны координаты концов.
[725]Даны координаты n точек на координатной плоскости. Изобразите на экране систему координат и нанесите точки, расположенные в третьей координатной четверти.
[726] Даны n точек на координатной плоскости. Изобразите на экране систему координат и нанесите точки, не лежащие на осях координат.
[727] Даны n точек на координатной плоскости. Изобразите на экране систему координат и нанесите точки, координаты которых но модулю не превосходят некоторого положительного числа k.
[728]Даны n точек на координатной плоскости. Изобразите на экране систему координат, нанесите нанее данные точки и проведите окружность с центром в начале координат, содержанию все данные точки.
[729] Даны пять точек на координатной плоскости. Проведите вес отрезки с концами в этих точках.
[730] Даны n точек на координатной плоскости. Последовательho, выбирая одну изних за центр окружности, проведите все окружности, проходящие через любую из оставшихся точек.
Второй уровень
[731] Выясните, в одной ли полуплоскости относительно прямой, заданной уравнением у=ах+b, расположены точки S(x1;y1), T(x2:y2).
Результаты.1) лежат на одной прямой; 2) не лежит на одной прямой.
[733] Постройте треугольникАВС: А(х1; у1), В(х2; у2), С(х3; у3). Найдитецентр и радиус описанной окружности. Опишите эту окружность около данного треугольника.
[734] центр н радиус окружности, вписанной в треугольник АВС: А(х1,у1), В(х2; у2), С(х3; у3). Постройте треугольник АВС и вписанную окружность.
[735] Две точки (звездочки) движутся по экрану сверху вниз по параллельным траекториям. Первую половину пути(или любую часть пути) быстрее движется первая звездочка, азатем - быстрее вторая. На финиш- конец экрана они приходят одновременно. Изобразите на экране движение звездочек.
[736]Имеется n квадратов, "вложенных друг в друга". Длины сторон квадратов вводятся с клавиатуры. Упорядочите значения длин сторон по убыванию и вычислите координаты левых верхних углов всех вложенных квадратов. Рисунок расположите в центре экрана.
[737]Радиусы n окружностей вводятся с клавиатуры неупорядоченно. Упорядочите последовательность радиусов и нарисуйте n концентрических колец, окрашенных н разные цвета, на экране.
[738] Составьте программу, позволяющую строить правильную пирамиду, основанием которой служит многоугольник с данным числом сторон п. Координаты всех вершин основания определяются в ходе выполнения программы. Длина высоты выбирается произвольно.
[739] ‘’Морской ёж". Напишите программу вращения отрезка меняющейся длины вокруг неподвижной точки.
[740] Изобразите поворот квадрата на заданный угол, приняв за центр поворота одну из ею вершин.
[741] Изобразите поворот квадрата вокруг точки, которая расположена вне квадрата.
[742] Изобразите гомотетию, то есть раздувание и сжатие ромба, принимая за центр геометрии последовательно: а) центр ромба; б) вершину ромба; в) произвольную точку плоскости.
[743]Постройте различные сечения прямоугольною параллелепипеда, выделяя периметр сечения цветом,
[744]Постройте различные сечения прямой треугольной призмы.
[745]Начертите систему координат с началом координат в центре экрана. Проведите окружность с центром в начале координат и диаметром в половину экрана. Две точки разноги цвета начинают двигаться из точки пересечения окружности с положительной полуосью Ох по окружности в разных направлениях. Скорость одной точки в три раза больше другой. Встретившись одновременно на оси Оу, точки начинают двигаться по ней в разных направлениях, обменявшись величинами скоростей так, чтобы к границам экрана прийти одновременно.
[746] Проверьте, лежит ли данная точка М внутри выпуклого многоугольника, заданного координатами своих вершин.
[747]Имеется выпуклый многоугольник, заданный координатами своих вершин. Случайным образом появляются точки в произвольном месте экрана. Подсчитайте количество точек, попадающих н заданную фигуру. Определите процент попадания.
[748]Имеется круг радиуса R с центром в начале координат. Вокруг него описан квадрат, стороны которого параллельны осям координат. Случайным образом появляются точки с координатами из числового промежутка [-R; R]. Подсчитайте количество точек, попадающих в данный круг. Определите процент попадания. Проведите большое количество испытаний и определите число те - отношение длины окружности к диаметру.
[749]Выпуклый многоугольник, заданный координатами своих вершин, разбит на единичные квадраты, параллельные осям координат. Проводится прямая, пересекающая многоугольник. Укажите квадраты, через которые проходит прямая, изменив их цвет.
[750]Выпуклый многоугольник задан координатами своих вершин. Подсчитайте количество острых, тупых и прямых углов многоугольника.
Тесты и результаты.
1) Многоугольник: (2, 2), (0; 4), (1, 6), (4; 6), (6; 4), (6; 3). Острых нет, тупых 5 и прямой 1.
2) Многоугольник: (2; 2), (0,3), (1; 5), (4, 6). (12, 4), (6: 2). Ocmрых 1, myпыx 4 и прямой 1.
[751]Даны n точек на координатной плоскости. Найдите тройку таких точек, чтобы окружность, проходящая через эти точки, делила бы все данные точки напримерно равные части наилучшим образом.
[752] Даны n точек на координатной плоскости. Найдите тройку таких точек, чтобы окружность, проходящая через три точки, содержала максимальное количество данных точек.
[753] Даны n точек на координатной плоскости. Найдите среди них дне такие точки, чтобы прямая, проходящая через эти точки, делила бы все данные точки напримерно равные части наилучшим oбразом.
[754] Даны n точек на координатной плоскости. Найдите срединих четыре такие точки, чтобы площадь образованного ими четырехугольника была максимальной.
[755] Дано множество прямых вида y=kx+b. Найдите среди них ту, которая пересекает наибольшее количество прямых данного множества.
[756] Дано множество прямых вида y=kx+b. Найдите среди них наибольшее количество параллельных прямых .
[757]Произвольный выпуклый многоугольник задан координатами своих последовательных вершин на плоскости. Найдите все внутренние углы многоугольника.
[758]Произвольный выпуклый многоугольник задан координатам и своих последовательных вершин на плоскости. Найдите площадь многоугольника,
[759] Используя графические команды, составьте программу рисования на конверте заданного почтового индекса.
[760]Две точки на координатной плоскости называются близкими, если расстояния между ними меньше восьми. Организуйте ввод координат точек дотех пор, пока они попарно друг другу близки.
[761] Даны n точек на координатной плоскости Упорядочите их по возрастанию расстояний от начала координат
[762] Даны два круга. Первый с радиусом R1 и центром F1(х1,у1), второй с радиусом R2 и центром F2(x2; у2). Заданытакже n точек на координатной плоскости. Определите, какие точки принадлежат двум кругам одновременно.
[763] Дан круг с радиусом R и центром F(x; у). На координатной плоскости заданы также прямоугольник ABCD и треугольник KNM. Определите, принадлежали прямоугольник и тpeyгольник данному кругу.
[764]Произвольный выпуклый многоугольник задан координатами своих последовательных вершин на плоскости. Определите вершины прямых углов многоугольника.
[765] Изобразите на экране систему координат и точки, для которых известны их координаты. Соедините красным отрезком две наиболееблизкие друг к другу точки, а синим - наиболее далекие,
[766] На числовой прямой заданы n точек. Найдите такую точку на прямой, сумма расстояний от которой до заданных минимальна.
[767] На числовой прямой имеется n отрезков, заданных координатами своих концов. Для каждой точке х подсчитывается число K(х) отрезков, содержащих х. Найдите наибольшее значение K(х).
[768]Даны n целочисленных точек на координатной плоскости Они описываются многоугольником, стороны которого параллельны осям координат. Вычислите площадь многоугольника и отобразите его на экране.
[769]На координатной прямой окрасили n отрезков. Найдите сумму длин всех окрашенных частей прямой, если известны координаты концов данных отрезков.
2)[1; 5],[2; 4],[3; 4],[2; 3],[8; 9],[10; 15],[6; 8],[11;15]. Сумма длин всех окрашенных частей 12.
[770] В массиве А(10) датчиком случайных чисел сгенерируйте проценты выполненияплана десятью предприятиями от 40% до 120%. В графическом режиме изобразите диаграммами проценты выполнение плана этими предприятиями.
[771]Треугольник АВС задан координатами своих вершин Проверьте, лежит ли данная точка М внутри треугольника, вне его или на его границе.
Тесты и результаты.
Треугольник: (2, 2), (0; 4), (6; 6).
М(4; 4) -внутри треугольника. М(1;3) - на границе. М(6; 1) - вне треугольника.
[772] Составьте программу, моделирующую движение материальной точки внутри прямоугольника. Начальные данные: размеры прямоугольника, координаты шарика х0,у0 и z- угол наклона вектора скорости к горизонтали (в градусах). Соударение со стенками абсолютно упругое. Угол падения равен углу отражения.
Третий уровень
[773]Дал правильный многоугольник, у которого нечетное количество сторон - n. Расставьте в его вершинах и на сторонах натуральные числа от 1 до2*n так, чтобы для любых двух сторон суммы чисел, расположенных на каждой из них, были равны.
[774]Дан правильный многоугольник, у которого нечетное количество сторон - n. Расставьте в его вершинах и на сторонах натуральные числа от 1 до 2*n так, чтобы для любых двух сторон суммы цифр чисел, расположенных на каждой из них, были равны.
Тесты и результаты.
n=5. 1-7-6-3-5-10-8-2-4-9.
[775] Дан правильный n - угольник. Расставьте в его вершинах и на сторонах натуральные числа от 1 до 2*n так, чтобы число, стоящее на стороне, равнялось сумме чисел, расположенных на вершинах, примыкающих к данной стороне.
[776]На клетчатой бумаге нарисовали окружность радиуса R, где R - натуральное число. Определите K-количество клеток, целиком лежащих внутри той окружности.
[777] Трехмерное пространство разбили на кубики с ребром .длиной 1. Провели сферурадиуса R, где R - натуральное число, а центр находится в вершине одного из единичных кубиков. Определите К -количество кубиков, целиком лежащих внутри данной сферы.
Тесты и результаты.
1) R=2, K=8. 2) R=3, K=56. 3) R=4,К=136 4) R =5; К=304. 5) R=7; K=1016. 6) R =10; K=3280.
[778] Даны координаты нескольких точек па плоскости. Составьте алгоритм, определяющий последовательность соединения этих точек для получения необязательно выпуклого многоугольника наименьшего периметра, вершины которого находятся в данных точках.
[779]Даны координаты нескольких точек на плоскости. Составьте алгоритм, определяющий последовательность соединения этих точек для получения необязательно выпуклого многоугольника наименьшей площади, вершины которого находятся н данных точках.
Порядок соединения точек: 1-4-3-5-2-7-6. Наименьшая площадь равна 4.
[780] Даны координаты нескольких точек на плоскости. Составьте алгоритм, определяющий последовательность соединения этих точек для получения не обязательно выпуклого многоугольника наименьшей стоимости, вершины которого находятся в данных точках. Стоимость многоугольника r вычисляется по формуле: r = s*k+p*l, где s - площадь многоугольника, р- периметр многоугольника, k -стоимость одной единицы площади многоугольника, l-стоимость единицы длины периметра многоугольника.
[781] Два многоугольника заданы координатами своих вершин. Найдите координаты их точек пересечения.
[783] Даны координаты нескольких точек на плоскости Никакие три из них не лежат на одной прямой. Площадь любого тpeyгольника с вершинами в данных точках не превосходит единицы. Постройте такой треугольник с вершинами уже не обязательно в данных точках, который содержит все данные точки и имеет площадь, не превосходящую четырех квадратных единиц.
[784] Даны координаты нескольких точек на плоскости. Никакие три из них не лежат на одной прямой. Найдите среди них такие тройки точек, чтобы треугольники с вершинами в этих точках не содержали ни одной из оставшихся точек.
[785] Даны координаты нескольких точек на плоскости. Никакие три из них не лежат на одной прямой. Найдите среди них такие четверки точек, чтобы четырехугольники с вершинами в этих точках имели заданную площадь S.
[786] Даны координаты нескольких точек на плоскости Никакие три из них не лежат на одной прямой. Найдите среди них хотя бы одну такую четверку точек, чтобы четырехугольник с вершинами в этих точках содержал все остальные точки.
[787] Дан круг с радиусом R и центром F(x; у). На координатной плоскости задан также прямоугольник ABCD. Закрасьте общую часть прямоугольника и круга.
[788] Даны действительные числа А1, В1, С1, А2, В2, С2 ... An, Bn, Сn. Эта последовательность определяет на плоскости n квадратов со сторонами, параллельными осям координат: Ai, Bi - координаты центра квадрата, Ci - длина его стороны. Координаты сторон Xi,Yi заданы в числовом интервале (-23; 23). Определите площадь фигуры, образованной всеми квадратами. Начертите все квадраты, выделяя подсчитываемую площадь.
[789] Имеется n прямоугольников на координатной плоскости со сторонами, параллельными осям координат. Каждый прямоугольник задается левой нижней и правой верхней вершинами. Начертите все n прямоугольников и закрасьте каждый из них. Найдите периметр закрашенной фигуры. При этом подсчитывается не только сумма длин внешних окаймляющих отрезков, но и сумма длин сторон внутренних "полостей"
Тесты и результаты.
1) Прямоугольники: n=5. 1) (10; 20) и (40; 50); 2) (20; 10) и (60;30); 3) (50; 20) и (70, 60); 4) (30; 40) и (60; 70); 5) (20; 40) и (80;90). Периметр закрашенной фигуры: Р=340.
2) Прямоугольники: n= 4. 1) (10; 20) и (40; 50); 2) (20; 10) и (60;30); 3) (50; 20) и (70; 60); 4) (30, 40) и (60; 70). Периметр закрашенной фигуры: P=280.
[790]Имеется n прямоугольников на координатной плоскости со сторонами, параллельными осям координат. Каждый прямоугольник задается левой нижней и правой верхней вершинами. Начертите все n прямоугольников и закрасьте каждый из них. Найдите S0 -площадь всей закрашенной фигуры, S1 - площадь, покрытую только одним прямоугольником, Sk - площадь, покрытую несколькими прямоугольниками,
Тесты и результаты
1) Прямоугольники: n=5. 1) (10; 20) и (40; 50); 2) (20; 10) и (60;30); 3) (50; 20) и (70; 60); 4) (30; 40) и (60; 70); 5) (20; 40) и (80;90). S0=4600. S1=3100. Sk=1500.
2) Прямоугольники: n=4. 1) (10; 20) и (40; 50); 2) (20; 10) и (60;30); 3) (50; 20) и (70; 60); 4) (30; 40) и (60; 70). S0=2800. S1=2200. Sk=600.
[791] Даны центры и радиусы n окружностей на координатной плоскости. Начертите на экране наибольшее количество окружностей, не имеющих друг с другом ни одной общей точки.
[792] На квадратном торте стоит n свечей. Можно ли одним прямолинейным разрезом разделить его на две равные по площади части так, чтобы одна из частей не содержала ни одной свечи? Свечи необходимо считать точками, каждая из которых задана парой целочисленных координат на координатной плоскости. Начало координат совпадает с центром торта, и разрез не может проходить ни через одну свечу.
[793]Даны m точек на плоскости своими координатами: А1(х1;y1), A2(x2;у2),...А(хm; уm). Определите все прямые углы вида Aj ,Ak ,Ap, где j, k, p изменяются в пределах от 1 до m. Подсчитайте количество таких углов.
[796] Кенгуру может прыгать вперед на любое из расстояний от 1 до k. Ей необходимо, двигаясь по координатной прямой, попасть из точки 0 в точку N. Определите, сколькими способами кенгуру может это сделать, и покажите все эти способы.
[798]Соедините заданные точки на плоскости простой замкнутой ломаной, то есть ломаной без самопересечений.
[799] Заданы n множеств по m точек в каждом. Расстоянием между двумя множествами называется расстояние между наиболее близко расположенными точками этих двух множеств. Определите два множества, расстояние между которыми максимально.
[800] Карта представлена в виде многоугольников. Раскрасьте карту минимальным количеством цветов.
К О М Б И Н А Т О Р И К А.
Первый уровень
[801] Найдите все расстановки одного белого, одного синего, одного красного и трех черных кружков в ряд.
[802] Найдите все расстановки одного знака плюс ("+"), одного знака минус ("-") и четырех звездочек ("*") в ряд.
[803] Даны k предметов с массами m1, m2,...mk. Выделите все группы предметов, у которых сумма масс равна S.
[804] Даны n чисел. Выделите из них группы, содержащие от 1 до n элементов, каждая из которых имеет данное произведение q. Одно число q считается имеющим произведение q.
[895] Даны n чисел. Выделите из них группы, содержащие от 1 до n элементов, каждая из которых имеет сумму, равную простому числу.
[806] Найдите всетройки элементов данного одномерного массива натуральных чисел, сумма которых кратна десяти.
[807] Найдите все четверки элементов данного одномерного мacсива натуральных чисел, произведение которых равно 120.
[808]Найдите все пятерки элементов данного одномерного массива натуральных чисел, сумма которых равна числу, оканчивающемуся на 25.
[809]Имеется n точек на координатной прямой. Выделите из них все пары точек, расстояние между которыми равно данному числу.
[810] Имеется n точек на координатной плоскости. Выделите из них все пары точек, расстояние между которыми равно данному числу.
[811] Имеется n точек на координатной плоскости, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Выделите из них все тройки точек, являющихся вершинами равнобедренных треугольников.
[812] Имеется n точек на координатной плоскости, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Выделите из них все тройки точек, являющихся вершинами прямоугольных треугольников.
[813] Имеется n точек на координатной плоскости, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Выделите из них все тройки точек, являющихся вершинами треугольников, имеющих данный периметр.
[814] Имеется n точек на координатной плоскости, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Выделите из них все тройки точек, являющихся вершинами прямоугольных треугольников данной площади.
[815] Напечатайте все трехзначные десятичные числа, сумма цифр которых равна данному числу. |
[816] Подсчитайте количество всех пятизначных десятичных чисел, в записи которых нет двух одинаковых цифр.
Второй уровень
[817] Задан массив A(N), заполненный целыми числами, среди которых нет одинаковых. Установите, в каком порядке должны следовать индексы элементов массива, чтобы массив стал возрастающим. |
[685] Функция задана на промежутках: