Розв’язування показникових рівнянь першого типу. Приклад.

Означення: Рівняння виду =b (b>0) називається найпростішим показниковим рівнянням. Розв’язок: х= b

Якщо у рівнянні є декілька степенів, то першим ділом зводимо їх до спільної основи.

Перший тип: (основи однакові,а показники відрізняються доданками)

Використавши властивості степенів, відокремлюємо зайві доданки винесши спільний множник за дужки, зведемо данне рівняння до найпростішого.

21. Розв’язування показникових рівнянь другого типу. Приклад.

Другий тип: (основи однакові,а показники відрізняються множниками).

Використавши властивості степенів, виносимо зайві множники в окремі показники. Зробивши заміну змінної на t,потім зводимо данне рівняння до поліноміального яке розв’ язуємо відомими методами. Повернувшись до заміни отримаємо декілька найпростіших рівнянь.

22. Означення синуса та косинуса довільного кута.

Синус довільного кута – це ордината точки на одиничному колі,яка відповідає цьому куту.

Косинус довільного кута – це абсциса точки на одиничному колі,яка відповідає цьому куту.

23. Графік та властивості функції y=sinx.

y=sinx

Властивості: 1)ОДЗ: х єR

2)ОЗ: у є [-1;1]

3) sin(-x) = - sin x

Функція не парна

4) Функція періодична з періодом Т= 2П

24. Графік та властивості функції y=cosx.

y=cosx.

Властивості: 1) ОДЗ: х єR

2)ОЗ: у є [-1;1]

3)cos(-x) = cosx

Функція парна

5) Функція періодична з періодом Т= 2П

25.Розв’язування рівняння sinx=a. Приклад

Розв'язання рівняння sinx = a, де a Є [-1; 1]
x = (-1)n arcsina + πn, де n Є Z

sinx cosx = 0,25

домножимо обидві частини рівняння на 2

2 sinx cosx = 0,5

В лівій частині вираз синуса подвійного аргумента,

sin2x = 0,5

це найпростіше тригонометричне рівняння

відносно 2x, тому його розв'язок

2x = (-1)n arcsin0,5 + πn, де n Є Z

відомо, що arcsin0,5 = π/6

2x = (-1)n π/6 + πn, де n Є Z

отримали лінійне рівняння відносно x

ділимо обидві його частини на 2, тоді

x = (-1)n π/12 + πn/2, де n Є Z

Відповідь: x = (-1)n π/12 + πn/2, де n Є Z

26. Розв’язування рівняння cosx=a. Приклад.

Cosx = a , a [ 1;1 ]

X1= arccos a + 2Пn

X2= -arccos a + 2Пn

27. Розв’язування рівняння tgx=a. Приклад.

X= +- arccos A + 2Пn , nZ

txX = A , aR

Значення tg позначаємо на лінії tg – ib

X= arctga + Пn , nZ

28. Розв’язування рівняння ctgx=a. Приклад.

Ctgx=A , aR

Значення ctg позначаємо на лінії сtg – ib

X= Arcctg + Пn , nZ

29. Розв’язування нерівностей sinx>a та sinx<a. Приклад.

SinX >_ A

X1= arsinA

X2 = П = arcsinA

Кожна пряма , яка перетинає коло в двох точках ділить його на 2 дуги з кінцями в цих точках . Розвязком найпростішої нерівності є одна з цих дуг. Вибираємо потрібну дугу в залежності від знаку нерівності . Для того , щоб правильно описати вибрану дугу , потрібно дотримуватись 2-х правил :

1) Рухаємось в додатному напрямку ( щоб знайти точку входу )

2) Рухаємось від меншого кута до більшого

ArcsinA + 2Пr <_ x <_ П – arcsinA + 2Пr , nєZ

SinX <_ A :П-arcsinA + 2Пr <_ x <_ arcsinA + 2П + 2Пr , nєZ

30. Розв’язування нерівностей cosx>a та cosx<a. Приклад.

1) cosX >_ a

x1= arcosA

x2= -arcosA

-arcosA + 2Пr <_ arcosA + 2Пr , nZ

2) cosX <_ a

arcoA + 2Пr <_ x <_ -arcosA + 2П ₊2Пn , nZ

31. Розв’язування нерівностей tgx>a та tgx<a. Приклад.

X= arctgA

Arctga + Пn <_ x < П/2 + Пn , nZ

1)tgX <_ a

- П/2 + Пn <_ arctgA + Пn , nZ

32. Розв’язування нерівностей ctgx>a та ctgx<a. Приклад

CtgX >_ a

X= arctgA

Пn < x <_ arctga + Пn, nZ

Ctg<_ a

Arcctga + Пn <_ x < П + Пn, nZ

33. Функція y=arcsin x

Як відомо, функція y=sin x зростає на проміжку і набуває всіх значень від -1 до 1, тобто кожного свого значення набуває в єдиній точці області визначення. Отже, рівняння sin x=a, |a|≤1, на проміжку має єдиний корінь, який називають арксинусом числа а і позначають arcsin a.