Арифметика действительных чисел. Вычисление по формулам. 2 страница

д) В предположении, что n ³ 10, найти предпоследнюю цифру числа n.

68.Дано натуральное число n (n £ 9999).

а) Является ли это число палиндромом (перевертышем) с уче-

том четырех цифр, как, например, числа 2222, 6116, 0440 и т. д.? б) Верно ли, что это число содержит ровно три одинаковые

цифры, как, например, числа 6676, 4544, 0006 и т. д.?

в) верно ли, что все четыре цифры числа различны?

69.Часовая стрелка образует угол j с лучом, проходящим через центр и через точку, соответствующую 12 часам на циферблате, 0 < j £ 2p . Определить значение угла для минутной стрелки, а также

количество часов и полных минут.

70.Даны целые числа m, n (0 < m £ 12, 0 £ n < 60), указывающие момент времени: «m часов, n минут». Определить наименьшее время (число полных минут), которое должно пройти до того момента, когда часовая и минутная стрелки на циферблате:

а) совпадут;

б) расположатся перпендикулярно друг другу.

71.Дано действительное число а. Вычислить f(a), где f – периодическая функция с периодом 1.5, совпадающая на отрезке [0,1.5]:

а) с функцией x3–2.25x;

б) с функцией, график которой изображен на рис. 4.

y

-0,5

1,5

1 x

y=1-x3

-1

0 1 x

Рис.4

Рис.5

72.Дано действительное число а. Вычислить f(a), где f –

периодическая функция с периодом 2, совпадающая на отрезке [–1,1]:

а) с функцией –x2+1;

б) с функцией, график которой изображен на рис. 5.

73.Даны целые числа k, l. Если числа не равны, то заменить каждое из них одним и тем же числом, равным большему из исходных, а если равны, то заменить числа нулями.

74.Дано натуральное n (n £ 100), определяющее возраст человека (в годах). Дать для этого числа наименования «год», «года» или «лет»: например, 1 год, 23 года, 45 лет и т. д.

75.Доказать, что любую целочисленную денежную сумму, большую 7 руб., можно выплатить без сдачи трешками и пятерками. Для данного n > 7 найти такие целые неотрицательные a и b, что 3a + 5b = n.

76.Поле шахматной доски определяется парой натуральных чисел, каждое из которых не превосходит восьми: первое число – номер вертикали (при счете слева направо), второе – номер горизонтали (при счете снизу вверх). Даны натуральные числа k, l, m, n, каждое из которых не превосходит восьми. Требуется:

цвета.

а) Выяснить являются ли поля (k, l) и (m, n) полями одного

б) На поле (k, l) расположен ферзь. Угрожает ли он полю (m, n)?

в) Аналогично б), но ферзь заменяется на коня.

г) Выяснить, можно ли с поля (k, l) одним ходом ладьи попасть

на поле (m, n). Если нет, то выяснить, как это можно сделать за два хода (указать поле, на которое приводит первый ход).

д) Аналогично г), но ладья заменяется на ферзя. е) Аналогично г), но ладья заменяется на слона.

Предполагается, что указанные поля имеют один и тот же цвет.

§ 4. Простейшие циклы

77.Дано натуральное число n. Вычислить:

a) 2n;

б) n!;

æ 1 öæ

1 ö æ 1 ö

в)ç1+ ÷ç1+ ÷...ç1+ ÷ ;

12 22 n2

è øè

г) 1 +

ø è ø

1 + ... + 1 ;

sin1

sin1+ sin 2

sin1+ ... + sin n

д) 2 +

2 + ... + 2 ;

, ,

n корней

е) cos1 × cos1 + cos 2 ×...× cos1 + ... + cos n ;

sin1

sin1+ sin 2

sin1+ ... + sin n

ж) 3 +

6 + ... +

3(n -1) +

3n .

78.Даны действительное число a, натуральное число n.

Вычислить:

а) аn;

б) а(а+1)¼(а+n–1);

в) 1 +

a

a(a +1)

+ ... +

1 ;

a(a +1)...(a + n)

г) 1 + 1

a a 2

+ 1 + ... + 1 ;

д) a(a - n)(a - 2n)...(a - n2) .

79. Вычислить (1+sin 0.1)(1+sin 0.2)¼(1+sin 10).

80.Дано действительное число x. Вычислить

3!

x x7

5! 7!

x x11

9! 11!

x13

+ .

13!

81.Даны действительные числа х, а, натуральное число n.

Вычислить

((...(( x + a) 2 + a)2+ ... + a)2+ a)2+ a .

ç

n скобок

82.Дано действительное число х. Вычислить

( x - 2)( x - 4)( x - 8)...( x - 64) .

(x -1)(x - 3)(x - 7)...(x - 63)

83.Дано действительное число а. Найти:

а) среди чисел 1, 1+ 1 , 1+ 1 + 1 , ¼ первое, большее а;

2 2 3

б) такое наименьшее n, что 1+ 1 + ... + 1

> a.

2 n

84.Даны натуральное n, действительное х. Вычислить: а) sin x + sin 2 x + ... + sin n x ;

б) sin x + sin x2+ ... + sin xn;

в) sin x + sin sin x + ... + sin sin ...sin x ;

,__ __,

n

85.Даны действительные числа a, h, натуральное число n.

Вычислить

f(a)+2f(a+h)+2f(a+2h)+¼+2f(a+(n–1)h)+f(a+nh),

где

f(x)=( x 2 +1)cos2x.

86.Дано натуральное число n.

а) Сколько цифр в числе n.

б) Чему равна сумма его цифр? в) Найти первую цифру числа n.

г) Найти знакочередующуюся сумму цифр числа n (пусть запись

87.Даны натуральное n, m. Получить сумму m последних цифр числа n.

88.Дано натуральное число n.

а) Выяснить, входить ли цифра 3 в запись числа n2.

б) Поменять порядок цифр числа n на обратный.

в) Переставить первую и последнюю цифры числа n.

г) Приписать по единице в начало и в конец записи числа n.

89.Алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя (НОД) неотрицательных целых чисел основан на следующих свойствах этой величины. Пусть m и n – одновременно не равные нулю целые неотрицательные числа и пусть m ³ n. Тогда, если n = 0, то НОД (n, m) = m, а если n ¹ 0, то для чисел m, n и r, где r – остаток от деления m на n, выполняется равенство НОД (m, n) = НОД (n, r). Например, НОД(15, 6) = НОД(6, 3) = НОД(3, 0) = 3.

Даны натуральные числа n, m.

а) Используя алгоритм Евклида, найти наибольший общий делитель n и m.

б) Найти наименьшее общее кратное n и m.(Как здесь может помочь алгоритм Евклида?)

90.Даны натуральные числа m и n. Найти такие натуральные p и q, не имеющие общих делителей, что p/q = m/n.

91.Пусть

a0= 1; ak

= kak-1+ 1/ k,

k = 1,2,...

Дано натуральное число n. Получить an.

92.Пусть

u1= u2= 0 ; u3= 1.5 ;

u = i +1 u

u u , i = 4, 5, ¼

i i2+1

i-1 -

i-2

i-3

Дано натуральное n (n ³ 4). Получить un .

93.Пусть

x0= c;

x1= d ;

xk = qxk -1+ rxk -2+ b ; k = 2, 3, ¼

Даны действительные q, r, b, c, d, натуральное n (n ³ 2). Получить xn.

94.Пусть

u1= u2= 0; u1= u2= 0 ;

ui-1 -ui-1

, i = 3, 4, ¼

i-1

i-1

i

i-2

+ui-1+ 2

Дано натуральное n (n ³ 3). Получить un.

95.Пусть

a0= a1= 1;

ai =

a + ai-1 , i = 2, 3, ¼

i-2 2i-1

Найти произведение a0 × a1×...× a14.

96.Пусть

1 æ

a1= b2= 1; ak = ç

2 è

bk -1 +

ö

ø

n

Дано натуральное n. Найти å ak bk

k =1

*).

n

*)Выражение å ak bk

k =1

есть краткая запись суммы a1b1+ ... + anbn;

n

вообще å fk

k =m

обозначает при n ³ m сумму f m + ... + f n ; при n < m

выражение смысла не имеет.

97.Пусть

x1= y1= 1; xi= 0.3xi–1;

yi= xi–1+ yi–1, i = 2, 3, ¼

Дано натуральное n. Найти

i=11+yi

98.Пусть

a1= b 1 = 1; a k = 3b k -1+ 2a k -1;

b k =2a k -1+ bk-1, k = 2, 3, ¼

Дано натуральное n. Найти

n 2k

å (1 + a 2 + b 2 )k! .

i=1 k k

99.Пусть

a1= u, b1= v, ak

= 2bk-1 + ak-1;

bk = 2ak-1+ bk-1,

k = 2, 3,...

Даны действительные u, u , натуральное n. Найти

k =1(k +1)!

100.Пусть

x1= x2 = x3 = 1; xi= xi–1 + xi–3, i = 4, 5, ¼

i=1 2

101.Даны положительные действительные числа a, x ,e. В последовательности y1, y2, ... , образованной по закону

1 æ x ö

2 çç yi-1 + y

÷÷ , i = 1, 2, ...;

i-1 ø

найти первый член

yn, для которого выполнено неравенство

2 2

yn - yn-1 < e .

102.Пусть x0= 1;

2 - x3

x = k -1, k = 1, 2, ... Найти первый член

k 5

xn , для которого

103.Пусть

xn - xn-1

yk -1 +1

< 10-5 .

y0= 1;

yk=

yk-1+ 2

, k = 1, 2, ...

Дано действительное e >0. Найти первый член

yn, для которого

выполнено

yn - yn-1< e.

104.Дано действительное a > 0. Последовательность x0, x1, ...

образована по закону

ì

ïmin(2a, 0.95)

ïïa

при

a £ 1,

x0 = í

ï 5

ï a

ïî25

при 1 < a £ 25,

в остальных случаях,

x = a x

n 5

n-1

n-1

n = 1, 2, ...

5 -6

Найти первый член

xn, для которого

a xn+1- xn

4

< 10

.Вычислить

для найденного значения

x разность a - x5.

105.

Вычислить:

а) x

n2 / 2n;

б) x

n3/ 3n.

106.Даны действительные числа a, b, натуральное число n

(b > a). Получить ( f1 + ... + fn)h, где

æ 1 ö

- a + ç i - ÷ h

h = b

a , f

n i

=

1 + ç a

è 2 ø

+ ç i - 1

2 ,

i = 1,2 ,..., n .

æ æ ö ö

è ø

107.Дано целое число m > 1. Получить наибольшее целое k, при котором 4k< m.

108.Дано натуральное число n. Получить наименьшее число

вида 2r, превосходящее n.

109.Дано натуральное число n. Вычислить 1×2 + 2×3×4 +...+

n×(n+1)×...×2n.

110.Вычислить:

1+ 1

3 + 1

5 + 1

.

.

.

101+

111.Дано действительное число x ¹ 0. Вычислить

x

x 2 +

x 2 +

4

x 2 + 8

.

.

.

x 2 + 256

x 2 !

112.Даны целые числа n, k, (n ³ k ³ 0). Вычислить

n(n - 1)...(n - k + 1) .

k!

113.Пусть n - натуральное число и пусть n!! означает 1×3×5×¼×n для нечетного n и 2×4× ... ×n для четного n. Для заданного натурального n вычислить:

а) n !!;

б) (-1)n+1n!!.

114.

50 1

i=1

; б)

10 128

в) å 1 ; г) å

1 ;

(2i)2

i=1 i!

i=1

52 i2

10 æ 1 ö

i=1

+ 2i + 3

*); е)Õç 2 +

i=1 è

÷ ;

i!ø

100

ж)Õ i +1; з) 1 - 1 .

i=2 i + 2

52 i2

i=2 è

i!ø

i=1

+ 2i + 3

есть краткая запись произведения

12+ 2 ×1 + 3

×

22 + 2 × 2 + 3

× ... ×

522+ 2 × 52 + 3

n

; вообще, Õ fi

i=m

обозначает при n ³ m произведение выражение смысла не имеет.

f m × f m+1 × ... × f n ; при n < m

115.Дано натуральное число n. Вычислить:

n n

k =1 k

k =1 k

n 1

n (-1)k