Производная по направлению. Градиент

Скалярным полем называется часть пространства (или все пространство), каждой точке, которой соответствует численное значение некоторой скалярной величины.

Примеры

Тело, имеющее в каждой точке определенное значение температуры – скалярное поле.

Неоднородное тело, каждой точке которой соответствует определенная плотность – скалярное поле плотности.

Во всех этих случаях скалярная величина U не зависит от времени, а зависит от положения (координат) точки М в пространстве, то есть - это функция трех переменных, она называется функцией поля. И обратно, всякая функция трех переменных u=f(x, y, z) задает некоторое скалярное поле.

Функция плоского скалярного поля зависит от двух переменных z=f(x, y).

Рассмотрим скалярное поле u=f(x, y, z).

Вектор, координатами которого являются частные производные функции, вычисленные в заданной точке, называется градиентом функции в этой точке или градиентом скалярного поля.

или

.

Рассмотрим некоторый вектор и на нем две точки M₀(x₀, y₀, z₀) и . Найдем приращение функции в направлении :

.

Производной по направлению называется следующий предел, если он существует:

.

где - направляющие косинусы вектора ; α, β, γ - углы, которые образует вектор с осями координат, если .

Для функции двух переменных эти формулы принимают вид:

или ,

так как .

Между градиентом и производной по направлению в одной и той же точке существует связь.

Теорема. Скалярное произведение градиента функции на вектор некоторого направления равно производной данной функции в направлении этого вектора:

.

Следствие.Производная по направлению имеет наибольшее значение, если это направление совпадает с направлением градиента (обосновать самостоятельно, используя определение скалярного произведения и считая, что ).

Выводы:

1. Градиент – это вектор, показывающий направление наибольшего возрастания функции в данной точке и имеющий модуль, численно равный скорости этого возрастания:

.

2. Производная по направлению – это скорость изменения функции в направлении : если , то функция в этом направлении возрастает, если , то функция убывает.

3. Если вектор совпадает с одним из векторов , то производная по направлению этого вектора совпадает с соответствующей частной производной.

Например, если , тогда .

Пример

Даны функция , точка А(1, 2) и вектор .

Найти: 1) ;

2) .

Решение

1) Найдем частные производные функции и вычислим их в точке А.

, .

Тогда .

2) Найдем направляющие косинусы вектора :

.

Тогда .

Ответ: ; .

Литература [ 1,2]

Вопросы для самопроверки:

1.Что называется функцией двух переменных, ее областью определения?

2. Как определяются частные производные?

3. В чем состоит геометрический смысл частных производных?

4. Что называется градиентом скалярного поля в данной точке?

5. Что называется производной по направлению?

6. Сформулируйте правила нахождения экстремумов функции двух переменных.

Вариант 1

Задание №1Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

а) ; б) ;

в) ; г) .

Задание №2Исследовать функцию на непрерывность: найти точки разрыва функции и определить их тип. Построитьсхематический график функции.

Задание №Дано комплексное число Z. Требуется: записать число Z в алгебраической и тригонометрической формах. .

Задание №4.Найти производные первого порядка данных функций.

1) у = 3х⁵ – sinx, 2) y = tgx, 3) y = , 4) .

Задание №5. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить график. .

Задание № 6. Дана функция z=f(x,y). Проверить выполняется ли тождество F≡0 ?

Задание № 7 Дана функция Z=x²+xy+y², точка и вектор . Найти:

1) grad z в точке А;

2) производную в точке А по направлению вектора .

Вариант 2

Задание №1Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

а) ; б) ;

в) ; г) .

Задание №2Исследовать функцию на непрерывность: найти точки разрыва функции и определить их тип. Построить схематический график функции.

Задание №3Дано комплексное число Z. Требуется: записать число Z в алгебраической и тригонометрической формах.

.

Задание №4.Найти производные первого порядка данных функций.

1) y = 4x⁴ + e^x , 2) y = sinx×lnx, 3) y = , 4) .

Задание №5. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить график.

.

Задание № 6. Дана функция z=f(x,y). Проверить выполняется ли тождество F≡0 ?

Задание № 7. Дана функция Z=2x²+3xy+y², точка и вектор . Найти:

1) grad z в точке А;

2) производную в точке А по направлению вектора .

Вариант 3

Задание №1Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

а) ; б) ;

в) ; г) .

Задание №2Исследовать функцию на непрерывность: найтиточки разрыва функции и определить их тип. Построить схематический график функции.

Задание №3Дано комплексное число Z. Требуется: записать число Z в алгебраической и тригонометрической формах.

.

Задание №4.Найти производные первого порядка данных функций.

1) y = 3 - lnx, 2) y = e^x×arcsinx, 3) y = , 4) .

Задание №5. Исследовать методами дифференциального счисления функцию и, используя результаты исследования, построить график.

.

Задание № 6. Дана функция z=f(x,y). Проверить выполняется ли тождество F≡0 ?