Частные производные

Рассмотрим функцию двух переменных . Зафиксируем одну из переменных, например, пусть . Тогда - функция одной переменной х.

- частное приращение функции по переменной х.

Аналогично, если зафиксируем х=х₀, то - частное приращение функции по переменной y.

Если существуют конечные пределы, то:

-

называется частной производной по х (или частной производной первого порядка);

-

называется частной производной по y.

Выводы:

1. Частная производная функции двух переменных по одному из ее аргументов равна пределу отношения частного приращения функции к вызвавшему это приращение приращению аргументу, когда приращение аргумента стремится к нулю.

2. Частные производные в точке (x_0, y₀) – это числа, зависящие от координат точки, в которой вычисляются, т.е. в общем случае это функции двух переменных.

3. Частная производная определяется как производная функции одной переменной (другую переменную фиксировали), поэтому для частных производных справедливы все правила и формулы дифференцирования функции одной переменной. Следует помнить, что при нахождении частной производной по какому-либо аргументу, все остальные аргументы считаются постоянными.

Примеры

1) ;

.

2) ;

.