Тема 6. Ранговая корреляция.

Если объекты генеральной совокупности обладают двумя качественными признаками, то для оценки степени связи признаков используют коэффициенты ранговой корреляции. Под качественным подразумевается признак, который невозможно измерить точно. Такие признаки оцениваются во всевозможных опросниках в дихотомических или номинальных шкалах. Номинальные случайные величины позволяют сравнивать объекты между собой и, следовательно, располагать их в порядке убывания или возрастания качества. Для определенности будем всегда располагать объекты в порядке ухудшения качества.

Пусть объекты обладают двумя качественными признаками А и В.

Расположим объекты выборки в порядке ухудшения качества по признаку А. Припишем объекту, стоящему на i-ом месте, число – ранг x_i, равный порядковому номеру объекта, т.е. ранг x₁ = 1, х₂ = 2 и т.д. В итоге получим последовательность рангов по признаку А.

Расположим объекты в порядке ухудшения качества по признаку В и припишем каждому из них ранг y_i, однако индекс i при y будет по-прежнему равен порядковому номеру объекта по признаку А. Например запись y₄ = 7 означает, что по признаку А объект стоит на четвертом месте, а по признаку B – на седьмом.

В итоге получим две последовательности рангов:

по признаку А: x₁, x₂, ... , x_n

по признаку В: y₁, y₂, ... , y_n

Если ранги по признакам А и В совпадают при всех значениях индекса i, то имеет место полная прямая зависимость (коэффициент ранговой корреляции равен 1), а если ранги по признакам А и В противоположны, то имеет место "противоположная зависимость" (коэффициент ранговой корреляции равен – 1).

В случаях перемешивания рангов существует два подхода для оценки коэффициента ранговой корреляции.

Выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена вычисляют по формуле

где: n – объем выборки, .

Значения выборочного коэффициента ранговой корреляции принадлежат интервалу -1 < < 1. Если выборка содержит объекты с одинаковым качеством, то каждому из них приписывается ранг, равный среднему арифметическому порядковых номеров объектов. Например, если объекты одинакового качества по первому признаку имеют порядковые номера 7 и 8, то их ранги соответственно равны 7,5.

Второй подход – выборочный коэффициент ранговой корреляции Кенделла. Назначение рангов проводится также. Изучаются нарушения порядка в ряду Y.

Пусть R_i – число, равное количеству рангов больших y_i и расположенных правее y_i , тогда выборочный коэффициент ранговой корреляции Кенделла:

Значения выборочного коэффициента ранговой корреляции принадлежат интервалу –1 < < 1.

При достаточно большом объеме выборки и при значениях коэффициентов ранговой корреляции, не близких к единице, имеет место приближенное равенство