Тема 2. Случайные величины. Распределения случайных величин

Случайная величина – числовая величина, сопоставляемая случайному событию, – результат отображения множества случайных событий на числовое множество. Случайная величина может принимать значения из заданного ряда или интервала значений.

Дискретной называют случайную величину, которая может принимать отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений может быть конечным или счетным (бесконечным).

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями.

Закон распределения задается аналитически, графически и таблично.

Например таблица:

Причем, p₁ + p₂ + . . . + p_n = 1

Приведенное представление называю вариационным рядом.

Биномиальным называют распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли (повторные испытания):

– вероятность получить k успехов в n испытаниях, в каждом из которых вероятность успеха постоянна и равна p , а вероятность неуспеха q=1-p.

Закон распределения Пуассона выражается формулой

Формула Пуассона применяется когда n велико, а р мало (p£0,1). Причем n×р=l есть величина постоянная.

Потоком событий называется последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени.

Интенсивностью потока l называют среднее число событий, которое появляется в единицу времени.

Вероятность появления k событий простейшего потока за время t определяется формулой Пуассона:

В психологии используются случайные величины:

– дихотомические (бинарные) – принимают значения 0 или 1, да или нет;

– номинальные – принимают значения из ряда чисел (уровень признака);

– номинативные – получают значение – число – номер ответа из списка, в котором один правильный ответ;

– интервальные – соответствуют непрерывным случайным величинам.

Первые три из этого списка дают, так называемые, сырые результаты тестов, которые, как правило, используются для вычисления некоторых числовых оценок результатов теста. Следует изучить особенности таких случайных величин с точки зрения смысла арифметических операций над ними. Например, для номинативных случайных величин нет никакого смысла в арифметических операциях над ними и для их использования обычно их преобразуют в дихотомические и т.д. Типичным примером необоснованно произвольного использования статистических методов, не имеющего никакого научного основания, является вычисление средней оценки по предмету (и тем более по предметам) в качестве оценки успеваемости в группе или успешности учебного процесса.