Наибольшая вероятность 0.3 соответствует спросу в три и четыре пирожных в день. Рассмотрим теперь доходы при каждом из этих исходов и выберем альтернативу, дающую наибольший доход (см. табл. 2.7.1). При спросе в 3 пирожных наибольший доход дает альтернатива производить 3 пирожных (доход составляет 18 руб.), при спросе в 4 пирожных наибольший доход дает альтернатива производить 4 пирожных (доход составляет 24 руб.), следовательно, по этому правилу надо производить 4 пирожных в день.
Оптимизация математического ожидания (правило Байеса) Выбирается решение либо с наибольшим ожидаемым доходом, либо с наименьшими возможными потерями. Использование критерия математического ожидания наиболее приемлемо в случаях многократного принятия решения в одинаковых условиях, позволяя максимизировать среднюю прибыль (или минимизировать средние убытки) при большом временном промежутке. В соответствии с законом больших чисел (который мы проходили в разделе 3 «Математики») при многократном принятии решения мы как раз и получим математическое ожидание (среднее значение) дохода либо потерь.
а) Максимизация ожидаемого дохода.
Составим таблицу ожидаемых доходов для каждой альтернативы (табл.2.7.5).
Таблица 2.7.5. Возможный доход (вероятность×доход из табл. 2.7.1).
Объем производства
Возможные исходы: спрос пирожных в день
Ожидаемый доход
0.6
1.2
1.8
1.8
0.6
0.2
2.4
3.6
3.6
1.2
–0.2
1.6
5.4
5.4
1.8
–0.6
0.8
4.2
7.2
2.4
–1.0
0.0
3.0
6.0
3.0
Максимальное значение ожидаемого дохода 14 руб. в день, следовательно, используя критерий максимизации ожидаемого дохода необходимо производить три или четыре пирожных в день.
б) Минимизация возможных потерь.
Составим таблицу возможных потерь для каждой альтернативы (табл.2.7.6).
Минимальные ожидаемые возможные потери равны 4.6 руб. в день, т.е. наилучшее решение – также как и в случае а, производить три или четыре пирожных в день.
Таблица 2.7.6 Возможные потери (вероятность×потери из табл. 2.7.2).
Объем производства
Возможные потери: спрос пирожных в день
Ожидаемые возможные потери
1.2
3.6
5.4
2.4
12.6
0.4
1.8
3.6
1.8
7.6
0.8
0.8
1.8
1.2
4.6
1.2
1.6
1.2
0.6
4.6
1.6
2.4
2.4
1.2
7.6
Значения вероятностей из табл.2.7.4 основаны на статистической либо экспертной информации, которая подвержена изменениям. Исследование зависимости выбора решения от изменений значений вероятностей называется анализом чувствительности решения.
Таблица 2.7.7. Зависимость выбора решения от изменений значений вероятностей
Наименование показателей
Возможные решения:
объем производства в день
Базовые вероятности
0.1
0.2
0.3
0.3
0.1
Ожидаемый доход в день
Альтернативные вероятности (1)
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
Ожидаемый доход в день (1)
Альтернативные вероятности (2)
0.1
0.2
0.2
0.2
0.3
Ожидаемый доход в день (2)
В альтернативном варианте (1) решение, дающее максимальный доход, не претерпело изменений, хотя средняя прибыль снизилась с 14 руб. до 12 руб. В альтернативном варианте (2) решение изменилось, наибольший средний доход 15 руб. дает альтернатива производить 4 пирожных в день. Таким образом, выбор решения оказался нечувствителен к варианту (1) изменений вероятностей, но чувствителен к варианту (2).
Пример 2.7.4. Рассмотрим схожую с предыдущей задачу управления запасами. Пусть спрос на некоторый товар описывается следующим рядом распределения вероятностей:
Спрос
Вероятность спроса
0.10
0.15
0.40
0.15
0.10
0.10
Определить уровень запасов, при котором вероятность полного истощения запасов не превышает 0.45. Определить также уровень запасов при условии, что средние значения дефицита и превышения запасов не должны быть больше 1 и 2 единиц соответственно.
Будем анализировать данную задачу как игру уровня запасов со спросом. Для каждого значения уровня запасов последовательно вычисляем вероятность его полного истощения. Она равна сумме вероятностей событий, когда спрос превышает данный запас. Затем вычисляем средний дефицит для каждого уровня запаса. Для уровня 0 средний дефицит равен 1×0.15+2×0.4+3×0.15+4×0.1+5×0.1=2.3, для уровня 1 получаем 1×0.4+2×0.15+3×0.1+4×0.1=1.4 и т.д. Аналогично вычисляем среднее превышение запасов, например, для уровня 0 превышения нет, для уровня 1 среднее превышение составляет 1×0.1=0.1, для уровня 2 получаем 2×0.1+1×0.15=0.35 и т.д. Сведем все результаты расчетов в таблицу 2.7.8.
Таблица 2.7.8
Уровень
запаса
Q
Вероятность
полного
истощения
Средний
дефицит
Среднее
превышение
запасов
0.9
2.3
0.75
1.4
0.1
0.35
0.65
0.35
0.2
0.3
1.0
0.1
0.1
1.8
2.7
Из табл. 2.7.8 получаем ответы на все интересующие нас вопросы:
При Q ≥2 вероятность полного истощения запасов не превышает 0.45. При 4≥Q≥2 средние значения дефицита и превышения запасов не больше 1 и 2 единиц соответственно.
Пример 2.7.5. Введем в пример 2.7.4 условие, чтобы ожидаемый дефицит был меньше превышения хотя бы на 1.
Тогда из табл. 2.7.8 находим уровень запасов, удовлетворяющий этому условию, Q ≥4.
