Устойчивость оптимального решения.

Рассмотрим теперь понятие устойчивости оптимального решения.

В первом примере (см. рис 2.2.1.) оптимальное решение находится в точке С, которая является пересечением двух прямых, заданных уравнениями

2 х₁ + 1 х₂ = 12, (I)

2 х₁ + 3 х₂ = 18. (II)

Целевая функция F=5 х₁ + 6 х₂ (здесь c₁=5, c₂=6) максимальное значение приняла в точке С. После составления плана и его реализации в конкретной производственной программе c₁ и c₂ (удельная прибыль или затраты) могут изменяться. Зададимся следующим вопросом:

при каком соотношении коэффициентов целевой функции c₁ и c₂ оптимальное решение сохранится (устоит) в точке С?

Из курса высшей математики (раздел аналитической геометрии) нам известно, что коэффициенты, стоящие перед переменными х₁ и х₂ в уравнении прямой суть координаты вектора, перпендикулярного данной прямой (т.н. нормаль). На рис.2.2.1 нормаль к целевой функции обозначена n, нормаль к ограничению (I) n₁ и нормаль к ограничению (II) n₂.

Чтобы оптимальное решение сохранялось в точке С при изменяющихся коэффициентах c₁ и c₂ необходимо, чтобы вектор нормали n лежал между векторами n₁ и n₂. Для этого необходимо, чтобы тангенс угла между вектором n и осью х₁ (обозначим через tg(n, х₁)) был больше tg(n₁, х₁), но меньше tg(n₂, х₁). Таким образом, для обеспечения устойчивости оптимального решения в точке С необходимо выполнение условия:

tg(n₁, х₁) £ tg(n, х₁) £ tg(n₂, х₁).

Так как tg(n, х₁) = с₂/ с₁,

tg(n₁, х₁) = а12 /а11 =1/2,

tg(n₂, х₁) = а22 /а21 =3/2,

окончательно получаем для примера 2.2.1 соотношение устойчивости оптимального решения в виде:

1/2 £ с₂/ с₁ £ 3/2.

В случае n переменных получаем много соотношений аналогичного вида между всеми с_k и с_j (k¹j) показывающих, при каких условиях изменение коэффициентов целевой функции не повлечет изменение оптимального решения.

Подставляя вместо c₁ и c₂ их значения получим проверочные соотношения

1/2 £ 6 /5 £ 3/2.

Для второй задачи соотношение устойчивости оптимального решения будет иметь вид:

2/10 £ с₂/ с₁ £ 1/0.5,

а проверочное соотношение

2/10 £ 2.5 /1.5 £ 1/0.5.