Мы рассмотрели сейчас предельно упрощенные примеры, преследуя исключительно иллюстративные цели, однако их анализ позволит осмыслить общие идеи и математические методы, лежащие в основе решения подобных задач.
В обоих примерах множество допустимых планов определяется точками выпуклого многогранника, полученного в результате пересечения полупространств, заданных линейными неравенствами (2.2.1) и (2.2.2). Линейная целевая функция при двух переменных задает на плоскости семейство параллельных прямых, при трех переменных – семейство параллельных плоскостей в трехмерном пространстве, а в случае n переменных – семейство параллельных (n-1)–мерных пространств (гиперплоскостей) в n-мерном пространстве.
Линейные ограничения и линейная целевая функция появились в наших примерах благодаря предположению о пропорциональной зависимости переменных и постоянных факторов.
В силу этого подобный класс задач называют задачами линейного программирования.
Геометрически решение задачи линейного программирования сводится к следующим этапам:
а) определение области допустимых планов, т.е. построение соответствующего ограничениям многогранника;
б) перемещение гиперплоскости целевой функции в пространстве параллельно самой себе до тех пор, пока она не будет максимально (минимально) удалена от начала координат и при этом будет иметь хотя бы одну общую точку с многогранником допустимых планов.
Этой точкой, как мы видели, будет вершина многогранника, хотя может быть грань или ребро в случае параллельности гиперплоскости целевой функции какой-либо грани или ребру многогранника.
Координаты этой вершины и будут определять оптимальное решение. Если целевая гиперплоскость касается грани или ребра, то в этом случае получается множество оптимальных планов, имеющих одно и тоже максимальное (либо минимальное) значение целевой функции.
Из анализа решения примеров делаем важный вывод:
оптимальному плану соответствует точка в области допустимых планов (возможно неединственная), являющаяся вершиной многогранника допустимых планов. На этом основана идея метода решения задачи линейного программирования, заключающаяся в том, что для нахождения оптимального плана достаточно просматривать лишь вершины многогранника допустимых планов.
Решение (план), которому соответствует вершина многогранника, называется базисным. Для нахождения базисного плана необходимо решить систему из n линейных уравнений с n неизвестными.
Разработанный в 1949г. Дж. Данцигом симплекс-метод основан на последовательном переходе от одной вершины многогранника допустимых планов к соседней, в которой линейная целевая функция принимает лучшее (не худшее) значение до тех пор, пока не будет найдено оптимальное решение.
Рассмотренные выше примеры позволяют сформулировать общую задачу линейного программирования.
Дана система m линейных неравенств с n переменными
a11 х1 + a12 х2 + …+ a1n хn £ b1
a21 х1 + a22 х2 + …+ a2n хn £ b2
……………………………….. (2.2.3)
am1 х1 + am2 х2 + …+ amn хn £ bm
и линейная функция
F = c1х1 + c2х2 + … + cnхn . (2.2.4)
Необходимо найти такое решение системы Х = (х1, х2,… , хn), где
хj ³ 0 (j=1,2,…n), (2.2.5)
при котором линейная функция F (2.2.4) принимает оптимальное (максимальное или минимальное) значение.
Система (2.2.3) называется системой ограничений, а функция F – целевой функцией, критерием или функцией цели.
Более кратко общую задачу линейного программирования можно представить в виде:
F = à max( min)
при ограничениях:
£ bi(i=1,2,…,m),
xj ³ 0 (j=1,2,…n).
Оптимальным решением (или оптимальным планом) задачи линейного программирования называется решение системы ограничений (2.2.3), удовлетворяющее условию (2.2.5), при котором линейная функция (2.2.4) принимает оптимальное (максимальное или минимальное) значение.
В рассматриваемой задаче все неравенства вида “ £ “, хотя могут быть и вида “³“, каждое такое неравенство, как мы видели на примерах, определяет полупространство в n-мерном пространстве. Постоянные коэффициенты aij являются, как правило, нормами расхода i-го ресурса на производство единицы j-го изделия (продукта). Коэффициенты bi задают предельные объемы использования i-го ресурса. Коэффициенты cj определяют удельную прибыль (или затраты) от производства единицы j-го изделия (продукта).
Если мы какую-либо производственную задачу смоделировали в виде задачи линейного программирования, то в ходе ее решения можно получить следующие результаты:
1.Ограничения могут оказаться несовместными, и задача не имеет решения.
2. Целевая функция не ограничена в области допустимых планов, ее максимум ( или минимум) ® + ¥ (- ¥).
3. Оптимальное решение единственное (целевая функция касается области допустимых планов в единственной вершине, ее координаты и определяют оптимальный план).
4. Существует некоторое множество оптимальных решений (планов).
Если задача экономически поставлена правильно, то 1-й и 2-ой случаи исключаются.
a11 х1 + a12 х2 + …+ a1n хn £ b1
à max( min)
£ bi (i=1,2,…,m),