Распределение Гаусса

Одним из наиболее важных непрерывных распределений, встречающихся в статистике, является нормальное распределение, или распределение Гаусса. Плотность вероятности этого распределения имеет вид:

. (36)

Параметр в (36) называется математическим ожиданием, а − дисперсией случайной величины (определения и будут даны ниже).

График функции распределения Гаусса (36) изображен на рисунке.

По оси абсцисс откладывается значения случайной величины , по оси ординат − плотность вероятности. Функция плотности представляет колоколообразную симметричную кривую, имеющую максимум при , а точки являются точками перегиба. График нормального закона распределения зависит от параметра . Чем больше , тем более пологий вид имеет кривая распределения.

Функция (36) является нормированной на единицу, это значит, что площадь, заключенная между кривой плотности вероятности и осью абсцисс, равна единице. Другими словами, вероятность того, что величина имеет произвольное значение в интервале , равна единице. Расчеты показывают, что вероятность того, что значение случайной величины попадет в интервал равна 68 %. Это значит, что почти в 70 % случаев значение величины находится в довольно узком доверительном интервале.

1) Математическое ожидание случайной величины есть среднее арифметическое значение , и для непрерывного распределения оно равно значению интеграла:

.

Параметр является наиболее вероятным значением случайной величины .

2) Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание функции , и для непрерывного распределения оно равно значению интеграла:

.

Дисперсия характеризует разброс значений случайной величины относительно . Каждый метод измерения, а также измерительный прибор характеризуется своим значением

Если значение дисперсии не известно, то наилучшей оценкой ее является квадрат среднеквадратичной погрешности :

.

(Величина при вообще совпадает с ).

Квадратный корень из дисперсии называется стандартным отклонением значения от .

Разность в (36) – это величина погрешности, следовательно, значение функции (35), записанное для , является плотностью вероятности появления данной погрешности. Соответствующий закон распределения запишется в виде:

. (37)

Максимум кривой (37) приходится на . Это значит, что, когда плотность вероятности появления той или иной погрешности подчиняется нормальному закону, малые погрешности являются более вероятными, чем большие.

Распределение Гаусса является основным в теории погрешностей. Обоснованием данного утверждения является центральная предельная теорема статистики.

Теорема. Пусть случайная величина имеет среднее значение и дисперсию . Если конечно, то при стремлении числа измерений случайной величины к бесконечности распределение среднего арифметического будет стремиться к нормальному распределению с тем же математическим ожиданием и дисперсией .

Благодаря этой теореме, доверительную вероятность того, что это среднее лежит внутри выбранного доверительного интервала , можно найти с помощью соотношения:

. (38)

Записанная теорема по сути утверждает, что во многих случаях, имеющих место в физических экспериментах, неважно, какому распределению подчиняются случайные погрешности измерения физической величины , её среднее значение распределено по гауссовому закону (36) около наиболее вероятного значения , которое можно считать истинным значением измеряемой величины. Именно поэтому практически во всех случаях экспериментальные погрешности можно вычислять, пользуясь одними и теми же методами, часть которых изложена в данном пособии.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Значения коэффициентов Стьюдента

Таблица 1

0,8	3,08	1,89	1,64	1,53	1,48	1,44	1,42	1,40	1,38	1,3
0,9	6,31	2,92	2,35	2,13	2,02	1,94	1,90	1,86	1,83	1,65
0,95	12,7	4,30	3,18	2,78	2,57	2,45	2,36	2,31	2,26	1,96

число измерений; доверительная вероятность, или надежность.