Окружность

Окружностью радиуса R с центром в точке называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от точки на расстояние R .

Каноническое уравнение окружности имеет вид:

. (2)

Уравнение окружности с центром в начале координат имеет вид:

(3)

Рис.1. Окружность с центром в точке

Рис.2. Окружность с центром в начале координат

Пример 1.1.

Найти координаты центра и радиус окружности .

Решение.

Выделим полные квадраты:

;

; .

Центр окружности находится в точке (2; -4), радиус равен 7.

Пример 1.2.

Составить уравнение окружности, диаметром которой является отрезок, отсекаемый координатными осями от прямой .

Решение.

Преобразуем общее уравнение прямой:

; ; .

Получили уравнение прямой в отрезках. Эта прямая пересекает координатные оси в точках А(-12; 0) и B(0; 8).

Центром окружности является точка - середина отрезка АВ. Координаты этой точки найдем по формулам координат середины отрезка:

; .

Значит, .

Радиус найдем как расстояние между точками и B:

Запишем уравнение окружности:

Преобразовав это уравнение, мы получим общее уравнение окружности:

; .

Ответ: .

Задачи для самостоятельного решения:

Составить уравнение окружности в каждом из следующих случаев:

1. Центр окружности совпадает с началом координат и ее радиус .

2. Центр окружности совпадает с точкой и ее радиус .

3. Окружность проходит через точку и ее центр совпадает с точкой .

4. Точки и являются концами одного из диаметров окружности.

5. Центр окружности совпадает с началом координат и прямая является касательной к окружности.

6. Центр окружности совпадает с точкой и прямая является касательной к окружности.

7. Окружность проходит через точки и , а ее центр лежит на прямой .

8. Окружность проходит через три точки , , .

9. Окружность касается прямых , , причем одной из них – в точке .

10. Окружность касается прямых , , центр лежит на прямой .

Эллипс

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

, (4)

где - большая полуось, - малая полуось эллипса, - фокусное расстояние. Из определения следует, что . Числа , , связаны соотношением

. (5)

Отсюда следует, что .

Координаты фокусов , . Фокусы эллипса лежат на оси .

Точки A, B, C, D называются вершинами эллипса, точка O – центром эллипса.

Из уравнения (4) следует, что каждое слагаемое в левой части не превосходит единицы, т.е. имеют место неравенства и или и . Следовательно, все точки эллипса лежат внутри прямоугольника, образованного прямыми , .

Если , то уравнение (4) определяет окружность , рассматриваемую как частный случай эллипса.

Важными характеристиками эллипса являются:

- эксцентриситет показывает степень вытянутости, обозначается буквой («эпсилон»):

(0< <1) (6)

если ~ 0, то эллипс почти круглый, т.е. близок к окружности,

если = 0, т.е. , , то эллипс превращается в окружность,

если ~ 1, то эллипс сплющенный, близок к отрезку .

- директрисы эллипса – прямые с уравнениями

, . (7)

- фокальные радиусы – расстояния и от произвольной точки эллипса до его фокусов ( до левого, до правого) определяются формулами:

, . (8)

Если фокусы эллипса лежат на оси , то , большая ось лежит на оси , малая ось - на оси , , , уравнения директрис . Координаты фокусов , .

Рис.4. Эллипс и его директрисы

Пример 2.1.

Составить уравнение эллипса, симметричного относительно координатных осей, проходящего через точку и имеющего эксцентриситет .

Решение.

Из формул (4)-(6) имеем систему уравнений относительно параметров а, b:

Из второго уравнения находим:

, т.е. , т.е. .

Подставляя это в первое уравнение, получим , , тогда , , .

Уравнение эллипса .

Пример 2.2.

Составить уравнение эллипса, симметричного относительно координатных осей и проходящего через точки и . Найти эксцентриситет эллипса, расстояния от точки до фокусов и уравнения его директрис.