Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка со специальной правой частью.

Рассмотрим неоднородное ДУ с постоянными коэффициентами у''+ру'+qу=f(x) (1). Общее решение ДУ (1) есть сумма общего решения однородного уравнения у и частного решения ў неоднородного ур-я (1). 1) правая часть ур-я (1) имеет вид f(x)=p_n(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n. В этом случае частное решение следует искать в виде ў=q_n(x)x^r, где q_n(x)-многочлен той же степени, что и многочлен p_n(x), но с неизвестными коэффициентами, r-число корней характеристического уравнения, равных нулю. 2)правая часть f(x)=е^αхp_n(x). Здесь p_n(x)-многочлен степени n, α-действительное число. В этом случае частное решение будем искать в виде ў= q_n(x) е^αхx^r (3), где q_n(x)-многочлен той же степени, что и многочлен p_n(x), но с неизвестными коэффициентами, а r-число корней характеристического ур-я, совпадающих с числом α в показателе. Замечание: при α=0 имеет место случай, т.к. f(x)=e^0x p_n(x)= p_n(x). 3) правая часть f(x)=mcosbx+nsinbx, где m,n,b-заданные числа. В этом случае частное решение ў следует искать в виде ў=(acosbx+bsinbx)x^r (4), где а и в-неизвестные коэффициенты, r-равно числу корней характеристического уравнения, совпадающих с числом bi.

Теорема: если ў₁-частное решение ур-я у''+ру'+qу=f₁(x) (5), а ў₂-частное решение ур-я у''+ру'+qу=f₂(x) (6) с одной той же частью, то сумма ў₁+ў₂ явл-ся частным решением ур-я .

Док-во: подставив в левую часть ур-я сумму ў₁+ў₂ на основании (5) и (6), получим (ў₁+ў₂)''+p(ў₁+ў₂)'+q(ў₁+ў₂)=(ў₁''+pў₁'+qў₁)+(ў₂''+pў₂'+qў₂)=f₁(x)+f₂(x). Т.о., ў₁+ў₂ есть решение ур-я .