Метод Эйлера

Простейшим численным методом решения задачи Коши (8.1), (8.2) является метод Эйлера, называемый иногда методом ломаных Эйлера.

Угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в точке есть

.

Найдём ординату касательной, соответствующей абсциссе . Так как уравнение касательной к кривой в точке имеет вид , то

.

Угловой коэффициент в точке также находится из данного дифференциального уравнения . На следующем шаге получаем новую точку , причём

и .

Продолжая вычисления в соответствии с намеченной схемой, получим формулы Эйлера для приближённых значений решения задачи Коши с начальными данными на сетке отрезка с шагом :

, . (8.4)

Графической иллюстрацией приближённого решения является ломаная, соединяющая последовательно точки , которую называют ломаной Эйлера (рис. 8.1).

Рис. 8.1

Оценим погрешность метода Эйлера на одном шаге. Для этого запишем разложение точного решения задачи Коши в точке по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:

, .

Погрешность метода на одном шаге имеет порядок так как

После шагов погрешность вычисления значения в конечной точке отрезка возрастёт не более чем в раз. Погрешность метода Эйлера можно оценить неравенством

или представить в виде

,

где .

Это означает, что метод Эйлера имеет первый порядок точности. В частности, при уменьшении шага в 10 раз погрешность уменьшится примерно в 10 раз.

Практическую оценку погрешности решения, найденного на сетке с шагом , в точке проводят с помощью приближённого равенства – правила Рунге:

, (8.5)

где – порядок точности численного метода. Таким образом, оценка полученного результата по формуле (8.5) вынуждает проводить вычисления дважды: один раз с шагом , другой − с шагом .

Пример. Решить задачу Коши

методом Эйлера на отрезке [0;0,4]. Найти решение на равномерной сетке с шагом в четырёх узловых точках; найти решение в тех же узлах, ведя расчёт с уменьшенным вдвое шагом. Вычислить погрешности приближений при расчёте с шагом : а) с помощью формулы; б) сравнив с точным значением. Аналитическое решение задачи имеет вид .

Решение. Здесь

,

.

Используя рекуррентные формулы

; ;

;

последовательно находим

при

при

при

при

Обозначим , и представим результаты вычислений в таблице.

	0,1	1,1	1,105	1,110342	0,005	0,005342
	0,2	1,22	1,231012	1,242805	0,011012	0,011793
	0,3	1,362	1,380191	1,399718	0,018191	0,019527
	0,4	1,5282	1,554911	1,583649	0,026711	0,028738

Следует заметить, что оценки погрешности решения , вычисляемые по формулам (8.5), близки к отклонениям и обе величины достигают значения − ошибки метода Эйлера при вычислении с шагом 0,05. Для сравнения отметим, что погрешность при вычислениях с шагом 0,1 составляет