Метод Эйлера для решения дифференциальных уравнений

Метод Эйлера для решения дифференциальных уравнений

реферат по математике

Выполнил:

студент группы 14ВВ2

Кривошеин А. В.

Приняла:

Руденко А. К.

ПЕНЗА 2015

Метод Эйлера для решения дифференциальных уравнений

Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, разрешённое относительно производной, имеет вид

(8.1)

Решением обыкновенного дифференциального уравнения (8.1) называется функция , подстановка которой в уравнение обращает его в тождество:

График решения называется интегральной кривой.

Задача Коши для дифференциального уравнения (8.1) состоит в том, чтобы найти решение уравнения (8.1), удовлетворяющее начальному условию

. (8.2)

Пару чисел называют начальными данными. Решение задачи Коши называется частным решением дифференциального уравнения (8.1) при условии (8.2).

Частному решению соответствует одна из интегральных кривых, проходящая через точку .

Условия существования и единственности решения задачи Коши содержатся в следующей теореме.

Теорема. Пусть функция − правая часть дифференциального уравнения (8.1) – непрерывна вместе со своей частной производной в некоторой области на плоскости. Тогда при любых начальных данных задача Коши (8.1), (8.2) имеет единственное решение .

При выполнении условий теоремы через точку на плоскости проходит единственная интегральная кривая. Будем считать, что условия теоремы существования и единственности выполняются.

Численное решение задачи Коши (8.1), (8.2) состоит в том, чтобы получить искомое решение в виде таблицы его приближённых значений для заданных значений аргумента на некотором отрезке :

(8.3)

Точки (8.3) называют узловыми точками, а множество этих точек называют сеткой на отрезке . Будем использовать равномерную сетку с шагом :

;

или

Приближённые значения численного решения задачи Коши в узловых точках обозначим через .

Таким образом, .

Для любого численного метода решения задачи (8.1), (8.2)начальное условие (8.2) выполняется точно, т. е.

Величина погрешности численного метода решения задачи Коши на сетке отрезка оценивается величиной

т. е. расстоянием между векторами приближённого решения и точного решения на сетке по m-норме. Говорят, что численный метод имеет p-й порядок точности по шагу на сетке, если расстояние можно представить в виде степенной функции от :

где – некоторая положительная постоянная, зависящая от правой части уравнения (8.1) и от рассматриваемого метода. В данном случае очевидно, что когда шаг стремится к нулю, погрешность также стремится к нулю.