Числовые ряды

Определение. Пусть дана числовая последовательность ,... Выражение вида (1) называется числовым рядом. Числа называются членами ряда, число – общий член ряда. Суммы конечного числа первых членов ряда называются частичными суммами ряда.

Так как число членов ряда бесконечно, то частные суммы образуют числовую последовательность .

Определение. Если предел последовательности частичных сумм ряда существует и конечен, то ряд (1) называется сходящимся и сумма ряда (1) равна пределу : . Если предел не существует или бесконечен, то ряд называется расходящимся.

Примеры. Знакомые нами числа и означают, что .

По аналогии, любое десятичное разложение действительного числа представляет собой сходящийся числовой ряд, а частичные суммы – это приближенные значения числа с заданной точностью.

Рассмотрим бесконечную геометрическую прогрессию , члены которой являются членами ряда . Частичная сумма этого ряда при имеет вид . Отсюда: = = , т.е. ряд сходится при и его сумма .

При , то и ряд расходится.

Если , то и ряд расходится. При ряд принимает вид . Частичные суммы ряда выглядят следующим образом . Последовательность частичных сумм ряда предела не имеет и ряд расходится.

То есть при ряд сходится, при – расходится.

Рассмотрим ряд . Зная, что имеем . Так как существует и конечен, то ряд сходится и его сумма равна единице.

Свойства сходящихся рядов.

Если сходится ряд (1), то сходится и каждый ряд, полученный из него прибавлением или отбрасыванием конечного числа членов.

Над сходящимися рядами можно выполнять обычные арифметические действия, то есть если ряд сходится и его сумма равна S, и , то сходится ряд и его сумма равна cS.

Пусть даны два ряда и . Если оба ряда сходятся, а их суммы равны соответственно S и T, то сходится ряд и его сумма равна S+T.

Если сходится ряд (1), то сходится и каждый ряд, полученный из него группировкой слагаемых, причем суммы обоих рядов одинаковы.

При рассмотрении рядов возникают задачи: исследовать ряд на сходимость и, если он сходится, найти его сумму. В связи с этим существуют признаки сходящихся рядов.

Теорема (необходимый признак сходимости). Если ряд сходится, то предел его общего члена равен нулю.

Доказательство. Рассмотрим ряд . Так как , то . Так как по условию ряд сходится, то обе частичные суммы стремятся к S, то есть и , значит .

Замечание. Обратное утверждение к теореме, вообще говоря неверно, то есть из того, что ещё не следует, что ряд сходится.

С помощью теоремы можно доказать только расходимость ряда, то есть если не стремится к нулю, то ряд расходится. Если же , то о сходимости или расходимости ряда вывода сделать нельзя, надо проводить дополнительное исследование.

Пример. – ряд расходится.

42. Необходимый признак сходимости числового ряда. Первая часть.

Перед началом работы с этой темой советую посмотреть раздел с терминологией для числовых рядов. Особенно стоит обратить внимание на понятие общего члена ряда. Если у вас есть сомнения в правильности выбора признака сходимости, советую глянуть тему "Выбор признака сходимости числовых рядов".

Необходимый признак сходимости числовых рядов имеет простую формулировку: общий член сходящегося ряда стремится к нулю. Можно записать этот признак и более формально:

Если ряд ∑n=1∞un сходится, то limn→∞un=0.

Часто в литературе вместо словосочетания "необходимый признак сходимости" пишут "необходимое условие сходимости". Однако перейдём к сути: что означает данный признак? А означает он следующее: если limn→∞un=0, то ряд может сходиться. Если же limn→∞un≠0 (или же предела попросту не существует), то ряд ∑n=1∞un расходится.

Стоит обратить внимание, что равенство limn→∞un=0 вовсе не означает сходимости ряда. Ряд может как сходиться, так и расходиться. А вот если limn→∞un≠0, то ряд гарантированно расходится. Если эти нюансы требуют детальных пояснений, то прошу раскрыть примечание.

Исходя из необходимого условия сходимости ряда можно сформулировать достаточный признак расходимостичислового ряда:

Если limn→∞un≠0, то ряд ∑n=1∞un расходится.

Чаще всего в стандартных примерах необходимый признак сходимости проверяется, если общий член ряда представлен дробью, числитель и знаменатель которой есть некие многочлены. Например, un=3n2+2n−15n2+7 (см. пример №1). Или же могут присутствовать корни от многочленов (см. пример №2). Бывают примеры, которые несколько выбиваются из данной схемы, но для стандартных контрольных работ это редкость (см. примеры вовторой части этой темы). Подчеркну главное: с помощью необходимого признака нельзя доказать сходимость ряда. Этот признак используют, когда нужно доказать, что ряд расходится.Пример №1

Исследовать сходимость ряда ∑n=1∞3n2+2n−15n2+7.

Решение

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: un=3n2+2n−15n2+7. Найдём предел общего члена ряда:

limn→∞un=limn→∞3n2+2n−15n2+7=∣∣∞∞∣∣=limn→∞3n2n2+2nn2−1n25n2n2+7n2=limn→∞3+2n−1n25+7n2=3+0−05+0=35.

Если метод решения данного предела вызывает вопросы, то советую обратиться к теме "Предел отношения двух многочленов". Так как предел общего члена ряда не равен нулю, т.е. limn→∞un=35≠0, то необходимый признак сходимости не выполнен. Следовательно, ряд расходится.

Решение окончено, однако, полагаю, у читателя возникнет вполне резоннный вопрос: а как мы вообще увидели, что нужно проверить выполнение необходимого условия сходимости? Существует немало признаков сходимости числовых рядов, так почему же взяли именно этот? Данный вопрос совсем не праздный. Но так как ответ на него, возможно, будет интересен не всем читателям, то я скрыл его под примечание.

Теорема 14.1.5. Если ряд сходится, предел его общего члена приn®¥ равен нулю, т.е. (14.1.4)

Доказательство. Так как ряд сходится, то и . Тогда , но , откуда

Следствие. Если , ряд расходится.

Пример Исследовать на сходимость ряд

, ряд расходится.

Замечание. Следует иметь в виду, что утверждение, обратноенеобходимому признаку сходимости неверно. Признак недостаточен для сходимости ряда. Из условия не следует, что ряд сходится.

сходится

ряд сходится

В качестве примера рассмотрим гармонический ряд .

Как видим, , т.е. выполнен необходимый признак сходимости. Покажем, что при этом гармонический ряд расходится. Рассмотрим частичные суммы S_n и S_2n

(14.5)

Предположим, гармонический ряд сходится.

В этом случае и и , что противоречит равенству (14.5). Следовательно, предположение о сходимости гармонического ряда неверно, т.е. гармонический ряд расходится.