Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Доказать теорему о структуре его общего решения

Терема о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с непрерывными на интервале (a, b) коэффициентами и правой частью

Ln(y) = ;

(20)

равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения

Ln(y) = ;

(21)

и частного решения неоднородного уравнения (20):
y_он(x) = y_оо(x) + y_чн(x) = (C₁ y₁(x) + C₂ y₂(x) + …+ C_n y_n(x)) + y_чн(x).
Док-во. Мы должны доказать, что если известно частное решение y_чн(x) неоднородного уравнения (20), то любое его другое частное решение может быть получено по формуле при некотором наборе постоянных C₁, C₂, …, C_n. Так как и y_чн(x), и - решения неоднородного уравнения (20), то L_n(y_чн(x)) = f(x) и , следовательно, по линейности оператора L_n(y), . Функция удовлетворяет однородному уравнению, поэтому содержится в формуле C₁ y₁(x) + C₂ y₂(x) + …+ C_n y_n(x) при некотором наборе постоянных C₁, C₂, …, C_n: . Таким образом, , что и требовалось доказать.
Из предыдущей теоремы следует, что для нахождения общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения необходимо знать его частное решение. Здесь мы сформулируем и докажем теорему, которая позволяет свести нахождение частного решения неоднородного уравнения с правой частью вида ( - постоянные) к, возможно, более простой задаче нахождению частных решений этого уравнения с правыми частями вида f(x) = f₁(x), f(x)=f₂(x):