Линейные уравнения 2-го порядка и их свойства. Постановка задачи Коши

Однородные линейные уравнения и свойства их решений

Понятие линейной зависимости и линейной независимости функций на отрезке. Доказать теорему о построении общего решения однородного линейного уравнения на основе фундаментальной системы решений.

Система функций y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) называется линейно зависимой на интервале (a, b), если существует набор постоянных коэффициентов , не равных нулю одновременно, таких, что линейная комбинация этих функций тождественно равна нулю на (a, b): для .
Если равенство для возможно только при , система функций y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) называется линейно независимой на интервале (a, b).
Другими словами, функции y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) линейно зависимы на интервале (a, b), если существует равная нулю на (a, b) их нетривиальная линейная комбинация. Функции y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) линейно независимы на интервале (a, b), если только тривиальная их линейная комбинация тождественно равна нулю на (a, b).
Примеры: 1. Функции 1, x, x², x³ линейно независимы на любом интервале (a, b). Их линейная комбинация - многочлен степени - не может иметь на (a, b) больше трёх корней, поэтому равенство = 0 для возможно только при .
Пример 1 легко обобщается на систему функций 1, x, x², x³ , …, xⁿ. Их линейная комбинация - многочлен степени - не может иметь на (a, b) больше n корней.
3. Функции линейно независимы на любом интервале (a, b), если . Действительно, если, например, , то равенство имеет место в единственной точке .
4. Система функций также линейно независима, если числа k_i (i = 1, 2, …, n) попарно различны, однако прямое доказательство этого факта достаточно громоздко.
Как показывают приведённые примеры, в некоторых случаях линейная зависимость или независимость функций доказывается просто, в других случаях это доказательство сложнее. Поэтому необходим простой универсальный инструмент, дающий ответ на вопрос о линейной зависимости функций. Такой инструмент - определитель Вронского.