Понижение порядка дифференциального уравнения

Во многих случаях удается свести дифференциальное уравнение -го порядка

(1)

к дифференциальному уравнению более низкого порядка, путем введения новой неизвестной функции. Рассмотрим некоторые типы уравнений, допускающих понижение порядка.

I. Пусть левая часть уравнения (1) не содержит явно искомую функцию , т. е. уравнение имеет вид

. (2)

Введем новую функцию , тогда и уравнение (2) перепишется так:

, (3)

т. е. относительно функции оно представляет собой уравнение -го порядка.

Любое решение , этого уравнения мы должны подставить в дифференциальное уравнение и решить последнее относительно :

.

Появилась произвольная постоянная. Часто некоторые решения дифференциального уравнения (3), не обязательно все, образуют семейство функций

,

зависящих от параметров . Ему соответствует семейство решений дифференциального уравнения (2)

,

зависящих от параметров .

Пример 1. .

Здесь функция явно не входит в уравнение. Полагая , находим и наше уравнение принимает вид . Разделяя переменные, имеем

,

т.е.

.

Но , значит, .

II. Пусть левая часть уравнения (1) не содержит явно независимую переменную :

. (4)

Будем считать в этом уравнении независимым переменным, а - искомой функцией. Обозначим .

Тогда

Подставляя эти значения в (4), получим дифференциальное уравнение - го порядка относительно . Пусть , есть решение этого дифференциального уравнения, отличное от нуля на . Так как , то

.

Мы получили решение исходного уравнения (4) в неявной форме. При этом оно зависит от произвольной постоянной .

Но часто функции получаются в виде семейств функций

,

зависящих от параметров . Им соответствующие решения в свою очередь образуют семейство

функций, зависящих от параметров .

Пример 2. .

Здесь явно не присутствует, поэтому полагаем . Подставляя эти значения в уравнение, имеем или .

Отсюда и .

Если , то .

Если , то, разделяя переменные, получаем

III. Левая часть уравнения (1) - однородная функция степени относительно переменных , т. е.

.

Для понижения порядка вводим новую функцию по формуле

.

Тогда

Подставляя эти значения в уравнение (1), получим

или в силу однородности функции

.

Так как , то отсюда получаем дифференциальное уравнение - го порядка

.

Пусть есть решение этого уравнения. Так как , то

,

где - произвольная постоянная. И если оказалось, что

,

то ,

где - произвольные постоянные.

Пример 3. Решим этим методом уравнение предыдущего примера.

Функция - однородная функция второй степени по отношению . Функция - решение уравнения. Будем считать, что . Полагая , имеем . Подставляя эти значения в уравнение, получаем

.

Отсюда . Функция - решение данного уравнения (тогда - решение исходного уравнения). Пусть , тогда

- общее решение. Отметим, что решение получается из общего при .