Геометрический смысл аргумента и модуля производной.

Функция f(z) аналитична в точке G. Ее производная не равна нулю. Далее считаем, что опытом кривой на плоскости z будет кривая в плоскости w.

Пусть точки и плоскости z соответствует значению координат и , а точкам и в плоскости w соответствуют координаты и . Тогда значения и , следовательно

Тогда и , . и займут положение касательных и предел

Определяется по (1).

Из уравнения (1) следует, что аргумент производной функции в точке представляет собой угол поворота касательной к кривой в точке при отображении этой кривой на плоскости w с помощью . В этом геометрический смысл производной

Если рассматривать кривую , проходящую через точку M, то запишем равенство

. И, принимая во внимание равенство (1), получим

Таким образом, если на плоскости z выбрать две кривые и и отобразить их на плоскости w, то получим кривые и . При отображении с помощью аналитической функции f(z) углы между кривыми сохраняются при условии, что .

Геометрический смысл модуля производной.

Рассмотрим модуль отношения . По свойству имеем отношение длин секущих:

Устремим . В результате получаем:

(3)

Из выражения (3) видно, что модуль производной характеризует растяжение или сжатие бесконечно малых векторов, начало которых в точке , если есть отображение . Это растяжение или сжатие не зависит от напряжения бесконечно малых векторов. Из геометрических свойств модуля и производной следует, что отображение с помощью аналитических функций в окрестности данной точки будет подобным.

25. Зада́ча Коши́ —

одна из основных задач теории дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными); состоит в нахождении решения (интеграла) дифференциального уравнения, удовлетворяющего так называемым начальным условиям (начальным данным).

Задача Коши обычно возникает при анализе процессов, определяемых дифференциальным законом эволюции и начальным состоянием (математическим выражением которых и являются уравнение и начальное условие). Этим мотивируется терминология и выбор обозначений: начальные данные задаются при , а решение отыскивается при .

От краевых задач задача Коши отличается тем, что область, в которой должно быть определено искомое решение, здесь заранее не указывается. Тем не менее, задачу Коши можно рассматривать как одну из краевых задач.

Основные вопросы, которые связаны с задачей Коши, таковы:

1. Существует ли (хотя бы локально) решение задачи Коши?
2. Если решение существует, то какова область его существования?
3. Является ли решение единственным?
4. Если решение единственно, то будет ли оно корректным, то есть непрерывным (в каком-либо смысле) относительно начальных данных?