Вычисление криволинейного интеграла второго рода, когда линия интегрирования задана в параметрической форме

Пусть линия интегрирования задана в параметрической форме х = φ(t), у = ψ(t). Тогда

где А( φ(α), ψ(α)), В( φ(β), ψ(β)) и точка сверху означает производную по параметру t.
П р и м е р 1. Вычислить криволинейный интеграл

по замкнутому контуру

L: x² + y² = a²

против хода часовой стрелки.
Р е ш е н и е. Перейдём к параметрической форме задания линии:

В этом случае

П р и м е р 2. Найти работу силы

вдоль линии L: х² + у² = 1 (х ≥ 0, у ≥ 0) от точки М₀(1; 0) до точки M₁(0; 1).

Р е ш е н и е. Уравнение линии

,

тогда

d x = − sin t·d t, d y = cos t·d t.

Тогда

Приложения криволинейного интеграла второго рода

Интеграл

можно представить в виде скалярного произведения векторов F=Pi+Qi и ds=idx+jdy:

В таком случае

Выражает работу переменной силы F=Pi+Qj при перемещении материальной точки М=М(х,у) вдоль кривой L=AB от точки А до точки В.
При А=В кривая L замкнута, а соответствующий криволинейный интеграл по замкнутой кривой обозначается так:

В этом случае направление обхода контура иногда поясняется стрелкой на кружке, расположенном на знаке интеграла.
Предположим, что в плоскости Оху имеется односвязная область D (это значит, что в ней нет «дыр»), ограниченная кривой , ( - обозначение границы области D), а в области D и на ее границе функции Р(х,у) и Q(х,у) непрерывны вместе со своими частными производными.
Теорема: Пусть А и В – произвольные точки области D, AmB и AnB – два произвольных пути (гладкие кривые), соединяющие эти точки (рис. 2).
Тогда следующие условия равносильны:
1. (условие Грина).
2. (криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования).
3. (интеграл по любому замкнутому пути равен нулю).
4. (выражение представляет собой полный дифференциал некоторой функции ).

В случае выполнения любого из равносильных условий предыдущей теоремы криволинейный интеграл по любой кривой, соединяющей точки (х_о, у_о) и (х₁, у₁) из области D, можно вычислить при помощи формулы Ньютона-Лейбница

где U(x, y) – некоторая первообразная для P dx + Q dy.
С другой стороны, первообразная U(x, y) выражения P dx + Q dy может быть найдена при помощи криволинейного интеграла

В этих же условиях на функции Р(х,у) и Q(х,у), а также на область D, имеет место формула Грина, позволяющая свести криволинейный интеграл по замкнутому контуру к двойному интегралу

Здесь предполагается, что обход границы области D в криволинейном интеграле

совершается в положительном направлении, т.е. при таком обходе границы область D остается слева; для односвязной области это направление совпадает с направлением против часовой стрелки.
Заметим, что площадь S=S(D) области D может быть вычислена при помощи криволинейного интеграла второговрода:

(эта формула получается из формулы Грина с ).

22.Формула Грина устанавливает связь между двойным интегралом по области D и криволинейным интегралом II рода по границе этой области и имеет следующий вид:

Формула Грина (1)

Направление на l берется против часовой стрелки, так что область D остается слева при обходе ее по контуру l; так ориентированный замкнутый контур обозначается l + , (Рис. 15).

Доказательство

w Пусть область D является правильной в направлении обеих координатных осей, а функции P(x,y) и Q(x,y) имеют непрерывные частные производные в замкнутой области D.

Запишем область D неравенствами и рассмотрим двойные интегралы по D от каждого слагаемого в левой части формулы Грина (Рис. 16).

Для двойного интеграла от второго слагаемого область D запишем неравенствами так, что в постоянных пределах будет переменная x, и сведем двойной интеграл к повторному:

воспользуемся формулой (7') предыдущего параграфа и перейдем от определенных интегралов по x к криволинейным интегралам по линиям l₁ и l₂, далее учтем направление на этих линиях

.

В этих преобразованиях учтены следующие свойства криволинейного интеграла II рода: изменение его знака при изменении направления на линии интегрирования и его аддитивность по линии интегрирования.

Таким образом, доказано, что

(2)
Теперь в формуле (1) рассмотрим двойной интеграл от первого слагаемого и для сведения его к повторному интегралу запишем область D неравенствами так, что в постоянных пределах изменяется переменная y (Рис. 16):

воспользуемся формулой (7'') предыдущего параграфа и перейдем от определенных интегралов по переменной y к криволинейным интегралам по линиям l₄ и l₃ и далее учтем направления на этих линиях

.

Здесь также применялись упомянутые выше свойства криволинейного интеграла II рода.

Таким образом доказано, что

(3)
Сложением равенств (2) и (3) получается следующая формула:

Отсюда по свойствам линейности относительно подинтегральных выражений криволинейных и двойных интегралов получаем равенство (1):

Если область D не является правильной в направлениях осей OX и OY, то ее можно разбить на правильные части.

Например, рассмотрим область D, неправильную в направлении оси Ox, и разделим её на две правильные части линией l*: D = D₁ÈD₂,

граница D1: ; граница D2: , граница , (Рис. 17) Затем используем свойство аддитивности двойного и криволинейного интегралов и уже указанную формулу Грина для правильной области:

так как криволинейный интеграл по линии раздела (L*) берется дважды в противоположных направлениях, следовательно, он равен 0. Таким образом, формула Грина справедлива для любой замкнутой области D.v

Формула Грина имеет теоретическое значение и будет использована, например, в следующем параграфе для вывода необходимых и достаточных условий независимости криволинейного интеграла II рода от формы линии интегрирования. На практике формулу Грина можно использовать для сведения криволинейных интегралов II рода по замкнутому контуру к двойным интергалам по области, ограниченной этим контуром.

Обобщением формулы Грина на трехмерный случай является формула Стокса, которая будет рассморена далее в этой теме.